Question

Na figura seguinta estão representadas quatro circunferências.
A circunferência maior tem 12 cm de diâmetro.
As outras três circunferências iguais são tangentes entre si e tangentes à circunferência maior.
Determine o raio de cada uma das circunferências menores.

Answer 1

Boa noite!

Ligando os 3 centros das circunferências menores temos um triângulo equilátero de lado igual a 2r, sendo r o raio da circunferência menor.
Ligando o centro do triângulo equilátero por um segmento que passa por um dos vértices do triângulo (que é centro de uma das circunferências menores até a circunferência maior temos o raio maior, R = 12 / 2 = 6 cm.
Este mesmo segmento também vale raio da circunferência menor mais o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Então temos:
$\frac{2}{3}\frac{2r\sqrt{3}}{2}=\frac{2r\sqrt{3}}{3}\\ \frac{2r\sqrt{3}}{3}+r=R\\ r\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)=R\\ r=\frac{R}{\frac{2\sqrt{3}}{3}+1}=\frac{R}{\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\\ r=\frac{3R}{2\sqrt{3}+3}\cdot\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}\\ r=\frac{3R\left(2\sqrt{3}-3\right)}{12-9}\\ r=R\left(2\sqrt{3}-3\right)=6\left(2\sqrt{3}-3\right)\\ r\approx{2,7846}$

Espero ter ajudado!

Answer 2

⇒Ligando os centros das circunferências menores teremos  um Δ equilátero de lado = 2R (R = raio de cada uma das circunferências menores).
Então altura Δ equilátero ⇒ 2R√3/2 ⇒ h = R√3
Sabemos que nos  Δ equiláteros a altura também é mediana logo o baricentro (ponto de encontro das medianas) estará 2/3 distante do vértice portanto valerá 2/3R√3.
Observando que a soma desta distância com o raio R será o raio da circunferência maior:  2/3R√3 + R = 6
 2R√3 + 3R = 18
R(2√3 + 3) = 18
R = ___18__
       2√3 + 3
racionalizando
R = ____18(2√3 - 3)__
       (2√3 + 3)(2√3 - 3)
R =  __18(2√3 - 3)__
               12 - 9
R = 6(2√3 - 3)