Question

Na figura que segue, o triângulo ACD é isósceles de base AC. Sabendo que o perímetro do triângulo ACD é igual a 36 cm e que o perímetro do triângulo ABD é
igual a 30 cm, determine todas as medidas dos lados do triângulo BCD.





Sugestão: Existe uma relação de congruência presente na questão que deve ser justificada. O uso do teorema de Pitágoras deve ser considerado.

Answer 1

Olá,

Esta será uma questão longa, portanto vou um pouco direto... Se houver dúvidas, pergunte-me!
Primeiro vamos nomear os lados do triângulo ACD:
AB = BC = a (Como é isósceles, então AB é igual a BC)
AD = CD = x (Mesma justificativa)
BD = h (altura)

Temos que o perímetro do triângulo ADC é 36, então:
AD + DC + AB + BC = 36
x + x + a + a = 36
2x + 2a = 36 (dividindo por 2)
x + a = 18
x = 18 - a

Achamos a primeira relação, agora vamos substituir no perímetro do triângulo ABD:
AD + DB + AB = 30
x + h + a = 30
18 - a + h + a = 30 (Anulando o a)
18 + h = 30
h = 12

Assim, descobrimos que a altura h é 12. Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, temos:
a² + h² = x²
a² + (12)² = (18 - a)²
a² + 144 = 324 - 36a + a²
a² - a² +144 - 324 = - 36a (Anulando a² e subtraindo 144 com -324)
-180 = - 36a (Inverendo os sinais)
a =  $\frac{180}{36}$
a = 5

Com isso, descobrimos que a vale 5. Substituindo em x = 18 - a:
x = 18 - a
x = 18 - 5
x = 13

Assim, temos as medidas de ABD: x = 13, a = 5 e h = 12
Como o triângulo é isósceles, se dividirmos ACD em duas partes iguais, descobrimos que ABD = BCD, então, os valores de x,a e h valem pra BCD, pois são triângulos semelhantes. Assim, encontramos as medidas de BCD.

Até mais.