Question

Na figura que segue, ABCD é um retângulo, AB=5 , AD=K (constante fixa) e CE=1. Sabendo que 4K - 4X é um número primo, encontre o valor de k. Observe que x é a altura do triângulo ABF .

Answer 1

Da relação $4k-4x=p$, temos que $4(k-x)=p$, que resulta em $k-x=\dfrac{p}{4}$. Logo a altura do menor triângulo é igual a $\dfrac {p}{4}$.
Se você traçar um segmento perpendicular ao lado $\overline{BC}$ que passe pelo ponto $F$, verá que obteve retângulos semelhantes. Assim podemos utilizar a seguinte relação métrica de retângulos:

$\dfrac{k}{5}=\dfrac{\dfrac{p}{4}}{1}\longrightarrow\dfrac{k}{5}=\dfrac{p}{4}\longrightarrow\boxed{{k}=\dfrac{5p}{4}}$

$k$ é igual a qualquer produto de um número primo por $\dfrac{5}{4}$.


Veja que $x=p$ ($x$ sempre será igual a esse número primo).

$k-x=\dfrac{p}{4}\\\\\\\text{Como }k=\dfrac{5p}{4}\text{ , portanto:}\\\\\\\left(\dfrac{5p}{4}\right)-x=\dfrac{p}{4}\\\\\\\dfrac{5p}{4}-x=\dfrac{p}{4}\\\\\\\dfrac{5p}{4}-\dfrac{p}{4}=x\\\\\\x=\dfrac{5p}{4}-\dfrac{p}{4}\\\\\\x=\dfrac{5p-p}{4}\\\\\\x=\dfrac{4p}{4}\\\\\\x=p$