Question

Na figura, PQRS é um trilho retangular de dimensões 5 m por 12 m contido em um plano paralelo ao plano do chão. Suponha que o cachorro Dubi passeie no exterior da região delimitada pelo retângulo, amarrado a esse trilho por uma corrente de 2 metros de comprimento, que pode deslizar livremente ao longo do perímetro do retângulo, ligada em sua coleira em um ponto E, que fica à mesma altura do trilho em relação ao chão.

Considere a situação em que Dubi dá uma volta completa em torno da cerca sempre com a corrente esticada ao máximo, isto é, a distância entre o ponto E e o trilho sempre é de 2 metros. Durante o deslocamento de Dubi o ponto E descreve uma trajetória que será uma curva fechada contida no plano determinado pelo retângulo PQRS.

a) Faça um esboço da curva fechada que será a trajetória do ponto E, e determine o comprimento dessa curva.

b) Determine a distância do ponto E até a diagonal SQ do retângulo, quando o segmento EF, formado pela corrente esticada, estiver perpendicular a SQ.​

Answer 1

a) O comprimento da trajetória é 46,57 m.

b) Nessa condição a distância do ponto E até a diagonal SQ do retângulo é de 6,6 m.

• Observe na figura anexa o esboço da curva fechada determinada pela trajetória do ponto E. A trajetória terá 4 segmentos de comprimentos iguais aos lados do retângulo mais quatro arcos de circunferência de 90° totalizando uma circunferência completa de raio 2 m.
• Determine o comprimento (C) da trajetória.

C = 2π⋅r + 2(5 + 12)

C = 2π⋅2 + 2(5 + 12)

C = 4π + 34

C = 46,57 cm

• O segmento EF, estará perpendicular a SQ quando o ponto F coincidir com o ponto R.​
• A distância do ponto E até a diagonal SQ do retângulo, será h + 2.
• Determine a medida da diagonal (d) do retângulo aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo QRS.

d² = 5² + 12²

d² = 25 + 144

d² = 169

d = 13 m

• Determine a medida h.
• Observe que a área do triângulo QRS pode ser determinada de duas formas diferentes: considerando dois catetos como base e altura e depois considerando a diagonal d como base e h como altura.
• Calcule o dobro da área usando os dois métodos e depois as iguale.

d⋅h = 5 ⋅ 12

13h = 5 ⋅ 12

$\large \sf h = \dfrac{5 \cdot 12}{13}$

$\large \sf h = \dfrac{60}{13}$

• Determine a distância (D) do ponto E até a diagonal SQ do retângulo.

D = 2 + h

$\large \sf D = 2 + \dfrac{60}{13}$

$\large \sf D = \dfrac{86}{13}$

D = 6,6 m

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