Question

Na figura, os pontos A, B, C, D, E, F e G são centros das circunferências dadas, todas de mesmo raio. R = AB = BC = CD = DE = EF = FG = GB

Observe também que os pontos B,C,D,E,F,G se encontram sobre a circunferência de centro A e raio R. Na fiigura há uma região sombreada mais escura de área Γ e uma região sombreada mais clara de área Ω. Calcule Ω e Γ em função de R.

Answer 1

Cálculo da área escura γ

Como AB = BC = AC = R, então, ligando esses pontos, formamos um triângulo equilátero.

Perceba que a área de uma "pétala" é igual a área do setor de 60° (lembre-se: triângulo equilátero possui todos os ângulos com a mesma medida) menos a área do triângulo, ou seja,

$A_p = 2(\frac{\pi R^2 . 60}{360} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{4})$

$A_p = 2(\frac{\pi R^2}{6} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{4} )$

$A_p = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{2}$

Portanto, a área mais escura é:

$A_e = 3(\frac{\pi R^2}{3} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{2})$

$A_e = \pi R^2 - \frac{3\sqrt{3}R^2}{2}$

Cálculo da área clara ω

A área de uma parte mais clara é igual a área de uma circunferência menos a área de duas "pétalas", ou seja,

$A_{c1} = \pi R^2 - 2(\frac{\pi R^2}{3} - \frac{R^2 \sqrt{3}}{2})$

$A_{c1} = \frac{\pi R^2}{3} + R^2 \sqrt{3}$

Portanto, a área mais clara é igual a:

$A_c = 3(\frac{\pi R^2}{3} + R^2 \sqrt{3})$

Ac = πR² + 3R²√3