Question

na figura os ângulos ABC e AED são retos, e os segmentos BC, AD e BD medem, respectivamente, 9 cm, 10 cm e 2 cm. A área do quadrilátero BCED em cm² é
A) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 38​

Answer 1

Resposta:

$30 {m}^{2}$

Explicação passo-a-passo:

Estarei resolvendo dentro de uma folha de papel aguarde um pouco e ja mando o anexo, espero ajudar.

Espero que entenda.

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Answer 2

Ambos os triângulos são retângulos (possuem um ângulo reto).

A área do quadrilátero desejado é a diferença entre a área do triângulo maior (ABC) e o triângulo menor (AED).

Dois lados do triângulo maior são dados: $\overline{BC}$ = 9 cm e $\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{DB} = 10 + 2 = 12\text{ cm}$.

Com isso já é possível calcular a área do triângulo maior. Visto que a área do triângulo retângulo nada mais é do que metade do produto entre a base a a altura.

$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$

$A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB} \cdot \overline{BC}}{2}$

Substituindo:

$A_{ABC} = \dfrac{12 \cdot 9}{2}$

$A_{ABC} = 6 \cdot 9$

$A_{ABC} = 54 \text{ cm}^2$

Agora, para o triângulo menor, um dos lados (a hipotenusa) é conhecido, $\overline{AD} = 10 \text{ cm}$. De forma a encontrar os outros dois lados, perceba que ha um ângulo que é comum a ambos os triângulos, o ângulo $\hat{DAE}$, que aqui chamarei de $\alpha$. Sabendo que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto:

$tan(\alpha) = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjascente}}$

$tan(\alpha) = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}}$

Assim:

$tan(\alpha) = \dfrac{9}{12} = \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}}$

Isolando $\overline{DE}$:

$\overline{DE} = \dfrac{9 \cdot \overline{AE}}{12}$

$\overline{DE} = \dfrac{3 \cdot \overline{AE}}{4}$

Mas, sendo que o triângulo ADE retângulo, aplica-se o Teorema de Pitágoras:

$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto oposto}^2 + \text{cateto adjascente}^2$

Ou seja:

$\overline{AD}^2 = \overline{DE}^2 + \overline{AE}^2$

O segmento $\overline{AD}$ mede 10 cm, substituindo $\overline{DE}$ em função de $\overline{AE}$:

$10^2 = \left(\dfrac{3 \cdot \overline{AE}}{4}\right)^2 + \overline{AE}^2$

$100 = \dfrac{9 \cdot \overline{AE}^2}{16}+ \overline{AE}^2$

$100 = \dfrac{9 \cdot \overline{AE}^2}{16}+ \dfrac{16 \cdot \overline{AE}^2}{16}$

$100 = \dfrac{25 \cdot \overline{AE}^2}{16}$

$16 \cdot 100 = 25 \cdot \overline{AE}^2$

$\dfrac{16 \cdot 100}{25} =\overline{AE}^2$

$\overline{AE} = \sqrt{\dfrac{16 \cdot 100}{25}}$

$\overline{AE} = \dfrac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{100}}{\sqrt{25}}$

$\overline{AE} = \dfrac{4 \cdot 10}{5}$

$\overline{AE} = \dfrac{40}{5}$

$\overline{AE} = 8 \text{ cm}$

Sabendo $\overline{AE}$ é possível calcular $\overline{DE}$:

$\overline{DE} = \dfrac{3 \cdot \overline{AE}}{4}$

$\overline{DE} = \dfrac{3 \cdot 8}{4}$

$\overline{DE} = 6 \text{ cm}$

Assim, a área do triângulo menor é:

$A_{ADE} = \dfrac{\overline{DE} \cdot \overline{AE}}{2}$

Substituindo:

$A_{ADE} = \dfrac{6 \cdot 8}{2}$

$A_{ADE} = 6 \cdot 4$

$A_{ADE} = 24 \text{ cm}^2$

Assim, a área do quadrilátero BCDE é:

$A_{BCDE} = A_{ABC} - A_{ADE}$

$A_{BCDE} = 54 - 24$

$\boxed{A_{BCDE} = 30 \text{ cm}^2}$

Alternativa A