Question

Na figura, o triângulo isosceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6cm e AB=3 raiz de 10. Determine o raio da circunferência.

Answer 1

Bem, como o triângulo é isósceles e está inscrito numa circunferência, o centro da circunferência é tbm o circuncentro do triângulo, o encontro das bissetrizes, num triângulo isósceles, a bissetriz e a altura são os mesmos segmentos, logo a altura h do triângulo é igual ao raio da esfera, mais a distância do centro até a base do triângulo, formando 90° com ela, que eu vou de chamar de 'a', já que é a apótema do triângulo. Assim, h = r + a, Como vamos formar um triângulo retângulo com hipotenusa 3√10 é um dos catetos igual a 3 ( pois a altura bate no ponto médio da base) podemos descobrir a altura:

(3√10)² = h² + 3²
h² = 90 - 9
h = 9cm

Assim, como h = a + r, podemos descobrir o segmento a medida de 'a' traçando mais uma bissetriz do ponto B até o centro da circunferência, formando mais um triângulo retângulo com catetos 'a' e 3 e hipotenusa 'r' (raio):

r² = a² + 3²
a² = r² - 9

Logo, como a = h - r = 9 - r >> a² = (9 - r)² e como a² = r² - 9, então:
r² - 9 = (9 - r)²
r² - 9 = 81 - 18r + r²
18r = 90
r = 5cm