Question

Na figura, o quadrado ABCD tem área 40 cm2. Os pontos P,Q,Rio e S são pontos médios dos lados do quadrado e T é o ponto médio do segmento RS.Qual é a área do triângulo PQT ?

Answer 1

A = 40 cm² ⇔ l = √40 = 2√10

AP = PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA = √10

    PQ² = PB² + BQ² ⇔                               BD² = AB² + AD² ⇔

⇔ PQ² = (√10)² + (√10)² ⇔                   ⇔ BD² = (√40)² + (√40)² ⇔

⇔ PQ² = 10 + 10 ⇔                                ⇔ BD² = 40 + 40 ⇔

⇔ PQ² = 20 ⇔                                       ⇔ BD² = 80 ⇔

⇔ PQ = ±√20 ⇔                                    ⇔ BD = ±√80 ⇔

⇔ PQ = -2√5 ∨ PQ = 2√5 ⇔                ⇔ BD = -4√5 ∨ BD = 4√5 ⇔

⇔ PQ = 2√5, PQ > 0                             ⇔ BD = 4√5, BD > 0

    DR² = RT² + DT² ⇔                               h = BD - 2DT ⇔

⇔ (√10)² = (√5)² + DT² ⇔                    ⇔ h = 4√5 - 2√5 ⇔

⇔ DT² = 10 - 5 ⇔                                 ⇔ h = 2√5

⇔ DT² = 5 ⇔                                      

⇔ DT = ±√5 ⇔                              A = b × h ÷ 2 =

⇔ DT = -√5 ∨ DT = √5 ⇔                = 2√5 × 2√5 ÷ 2 =

⇔ DT = √5, DT > 0                           = 4(√5)² ÷ 2 =

                                                          = 4 × 5 ÷ 2 =

                                                          = 10

Answer 2

A área do triângulo PQT é 10 cm².

• Observe na figura anexa que se P, Q, R e S são pontos médios dos lados do quadrado ABCD, então PQRS também é um quadrado.
• Considere PQ a base (b) do triângulo, então a altura do triângulo é igual ao lado QR ou PS.
• A área (A) do triângulo é obtida por:

$\large \sf A = \dfrac{b \times h}{2}$  ⟹ Observe que h = b. Substitua.

$\large \sf A = \dfrac{b \times b}{2}$

$\large \sf A = \dfrac{b^2}{2}$  ① ⟹ Determine o valor de b².

• Se o quadrado ABCD tem área 40 cm², determine a medida de seu lado (ℓ):

A = ℓ²

40 = ℓ² ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

$\large \sf \sqrt {40} = \ell$

$\large \sf \ell = \sqrt {40} = \sqrt {4 \times 10}$

$\large \sf \ell = 2\sqrt {10} \ cm$

• Se Q é ponto médio de BC, então BQ é a metade de BC (ℓ).

$\large \text { \sf BQ = \dfrac{ \ \ell \ }{2} = \dfrac{2 \sqrt {10}}{2} }$

$\large \sf BQ = \sqrt {10} \ cm$

• Aplique o Teorema de Pitágoras no triângulo PBQ e determine o valor de b². Observe que as medidas de  BQ e BP são iguais.

b² = BQ² + BP²

$\large \sf b^2 = (\sqrt {10})^2 + (\sqrt {10})^2$

b² = 10 + 10

b² = 20 ⟹ Substitua o valor de b² na equação ①.

$\large \sf A = \dfrac{b^2}{2}$

$\large \sf A = \dfrac{20}{2}$

A = 10 cm²

A área do triângulo PQT é 10 cm².

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