Question

Na figura, o ponto P(4,12/5) pertence à elipse de focos F1 (-3,0) e F2 (3,0) . Dar a equação reduzida da elipse.​

Answer 1

De acordo com a definição de elipse, temos que:

• Definição: Fixados F1 e F2, o conjunto dos pontos P tais que PF1 + PF2 = 2a é denominado elipse.

Essa definição diz que a distância de um ponto "P" até O foco 1 somado com a distância desse mesmo ponto "P" ao foco 2 é igual a 2a (é uma constante). Sabendo disso, vamos calcular a distância entre o ponto P e F1 e P e F2, depois somar as duas distâncias e igualar a constante (2a). Para calcular essa tal distância usaremos a famosa fórmula da distância entre dois pontos.

• Distância P à F1:

$\sf \begin{cases} \sf P(4, \frac{12}{5} ) \rightarrow x_a =4 \: \: \: \: x_b = \frac{12}{5} \\ \\ \sf F _ 1( - 3,0) \rightarrow f_a = - 3 \: \: \: f_b = 0 \: \end{cases} \\ \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{(x_b - f_b) {}^{2} + (x_a - f_a) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{ (\frac{12}{5} - 0) {}^{2} + (4 - ( - 3)) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{( \frac{12}{5}) {}^{2} + (4 + 3) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{ \frac{144}{25} + (7) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{ \frac{144}{25} + 49} \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{ \frac{144 + 25.49}{25} } \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{ \frac{144 + 1225}{25} } \\ \sf D_{p,f_1} = \sqrt{ \frac{1369}{25} } \\ \boxed{\sf D_{p,f_1} = \frac{37}{5} \: u.c }$

• Distância P à F2:

$\sf \begin{cases} \sf P(4, \frac{12}{5} ) \rightarrow x_a =4 \: \: \: \: x_b = \frac{12}{5} \\ \\ \sf F _ 2( 3,0) \rightarrow f_a = 3 \: \: \: f_b = 0 \: \end{cases} \\ \\ \sf D_{p,f_2} = \sqrt{(x_b - f_b) {}^{2} + (x_a - f_a) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_2} = \sqrt{( \frac{12}{5} - 0) {}^{2} + (4 - 3) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_2} = \sqrt{( \frac{12}{5} ) {}^{2} + (1) {}^{2} } \\ \sf D_{p,f_2} = \sqrt{ \frac{144}{25} + 1} \\ \sf D_{p,f_2} = \sqrt{ \frac{144 + 25}{25}} \\ \sf D_{p,f_2} = \sqrt{ \frac{169}{25} } \\ \boxed{ \sf D_{p,f_2} = \frac{13}{5} \: u.c}$

Agora vamos substituir essas distâncias na relação que eu citei acima.

$\boxed{ \sf P_{F_1 }+ P_{F_2} = 2a} \\ \\ \sf \frac{37}{5} + \frac{13}{5} = 2a \\ \sf \frac{50}{5} = 2a \\ \sf 2a = 10 \\ \sf a = \frac{10}{2} \\ \boxed{\sf a = 5}$

Pronto, matamos a questão, pois a questão nos dá o valor do foco (c), que é 3 e acabamos de achar o valor de "a", agora é só substituir na relação pitagórica e descobrir o valor de "b":

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 5 {}^{2} = b {}^{2} + 3 {}^{2} \\ \sf25 = b {}^{2} +9 \\ \sf 25 - 9 = b {}^{2} \\ \sf b {}^{2} = 16 \\ \sf b = \sqrt{16} \\ \boxed{\sf b = 4}$

Para finalizar a questão pede para montarmos a equação reduzida da elipse, cuidado para não errar na hora de substituir na equação correta. Note que o maior eixo dessa elipse está sobre "x", portanto a equação reduzida dará-se por:

$\boxed{\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}$

Substituindo os dados:

$\sf \frac{x {}^{2} }{5 {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{4 {}^{2} } = 1 \\ \\ \boxed{\sf \frac{x {}^{2} }{25} + \frac{y {}^{2} }{16} = 1} \sf\leftarrow resposta$

Espero ter ajudado