Question

Na figura,estão representados, num referencial x y:

uma circunferência cuja equação cartesiana é dada por $(x-1)^{2} +(y-1)^{2} =20$;

a reta t, tangente à circunferência no ponto de coordenadas (−3,3);

o ângulo , cujo lado origem é o semieixo positivo x e o lado extremidade é a reta t.

O valor da tan α é:

a)1/2

b)−1/2

c)−2

d)2

e)1

Answer 1

Utilizando derivadas implicitas temos que a tangente do angulo da reta é dado por 2. Letra d).

Explicação passo-a-passo:

Para acharmos este angulo precisamos primeiro encontrar a derivada desta circunferência:

$(x-1)^2+(y-1)^2=20$

Vamos fazer a derivada ímplicita desta função:

$2(x-1).dx+2(y-1).dy=0$

$2(x-1).dx=-2(y-1).dy$

$-\frac{x-1}{y-1}=\frac{dy}{dx}$

Substituindo a derivada no ponto (-3,3):

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x-1}{y-1}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{-3-1}{3-1}=2$

A derivada neste ponto vale 2, e sabemos que toda equação da reta é dada por:

$y=ax+b$

Onde "a" é o coeficiente angular e "b" o coeficiente linear. Sabemos que a derivada de uma função no ponto já é o próprio valor de "a" da reta tangente, então temos que nossa reta é:

$y=2x+b$

Agora só falta o valor de "b" para termos a reta completa, porem não precisamos, pois a questão só pede a tangente do angulo desta reta, e o valor de "a" é exatamente a tangente do angulo de inclinação da reta, então neste caso, vale 2.