Question

na figura, está representado o triangulo ABC, retangulo em B
Sabe se que:
o ponto D pertence ao lado AC
BD é a altura do triaângulo ABC relativa ao lado AC
AB = 6 BC = 10
qual dos seguintes valores é igual ao quociente área do triangulo ADB : área do triangulo BDC

Answer 1

! ! Veja a imagem ! !

1º Usando pitagoras para achar AC :

$\text{AC}^2 = 36 + 100 \to \text{AC}^2 = 136 \to \text{AC} = \sqrt{136} \to \boxed{\text{AC} = 2\sqrt{34}}}$

2º Fazendo Pitagoras no $\Delta ADB$ e no $\Delta BDC$. E Combinando os dois Para achar AD.

$\Delta ADB \to \text{AD}^2 + \text h^2 = 36 \to \text h^2 = 36 - \text{AD}^2$

$\Delta BDC \to (\text{AC-AD})^2+\text h^2 = 100 \to (2\sqrt{34}-\text{AD})^2 + \text h^2 = 100$

Desenvolvendo e combinado as duas :

$136 + \text{AD}^2 -4.\sqrt{34}.\text{AD} + 36 - \text{AD}^2 = 100$

$\displaystyle 4\sqrt{34}.\text{AD} = 72 \to \boxed{\text{AD} = \frac{18}{\sqrt{34}}}$

3º Achando a área do $\Delta ADB$ e do $\Delta BDC$

$\displaystyle \text{S}(\Delta \text{ADB}) \to \text{AD}.\frac{\text{BD}}{2} = \frac{18}{\sqrt{34}}.\frac{\text{BD}}{2}$

$\displaystyle \text{S}(\Delta \text{BDC}) \to \text{AC-AD}.\frac{\text{BD}}{2} \to (2\sqrt{34}-\frac{18}{\sqrt{34}}}).\frac{\text{BD}}{2} = \frac{50}{\sqrt{34}}.\frac{\text{BD}}{2}$

4º Fazendo a divisão das áreas :

$\displaystyle \frac{\text{S}(\Delta \text{ADB}) }{\text{S}(\Delta \text{BDC})} \to \frac{\displaystyle \frac{18}{\sqrt{34}}.\frac{\text{BD}}{2}}{\displaystyle \frac{50}{\sqrt{34}}.\frac{\text{BD}}{2}} = \frac{18}{50}$

Portanto :

$\huge\boxed{\displaystyle \frac{\text{S}(\Delta \text{ADB}) }{\text{S}(\Delta \text{BDC})} = \frac{9}{25} } \checkmark$