Question

Na figura está representada parte da reta numérica e um quadrado [ABCD]
Sabe-se que os arcos assinalados têm centro no ponto de abcissa 0.
Atendendo a construção, determina as abcissas dos pontos T e s.​

Answer 1

Os pontos s e t são, respectivamente, $-\sqrt{13}$ e $\sqrt{10}$

A resolução dessa questão envolve o uso do Teorema de Pitágoras e noções das propriedades da circunferência.

• Vamos começar descobrindo a medida do lado do quadrado ABCD.

Analisando o lado desse quadrado que está sobre a reta numérica, podemos ver que seu tamanho, em módulo, é a distância entre os pontos A e B, igual a 3 unidades de medida.

A figura mostra dois arcos diferentes. Vamos primeiro analisar o arco da esquerda.

• Arco da esquerda

Se essa construção é um arco de circunferência, então a distância entre os pontos $\overline{OD}$ é a mesma entre os pontos $\overline{OS}$, isso porque $\overline{OD}$ representa o raio da circunferência a qual esse arco pertence.

Vamos descobrir qual a medida do segmento $\overline{OD}$

Os pontos O, A e D são vértices de um triângulo retângulo, onde $\overline{OD}$ é a hipotenusa. Eu anexei uma imagem mostrando a construção do triângulo retângulo.

Vamos aplicar Pitágoras no triângulo $\triangle{OAD}$:

Os catetos são o lado do quadrado $\overline{AD}$ =3 e a distância $\overline{OA}$=2

$(\overline{OD})^2=3^2+2^2\\\\(\overline{OD})^2=9+4\\\\(\overline{OD})^2=13\\\\\overline{OD}=\pm\sqrt{13}$

Portanto, o segmento $\overline{OD}=\overline{OS}=\pm\sqrt{13}$

O ponto "s" está a $\sqrt{13}$ unidades de distância da origem $O$. Porém, o ponto s está à esquerda da origem da reta numérica, então seu valor é negativo.

$s=-\sqrt{13}$

• Arco da direita

A ideia é a mesma. Vamos construir um triângulo retângulo para encontar a medida do segmento $\overline{OC}$, que é igual a medida do segmento $\overline{OT}$.

Os pontos O, B e C são vértices de um triângulo retângulo, onde $\overline{OC}$ é a hipotenusa.

Vamos aplicar Pitágoras no triângulo retângulo $\triangle{OBC}$:

Os catetos são o lado do quadrado $\overline{BC}$ =3 e a distância $\overline{OB}$=1

$(\overline{OC})^2=3^2+1^2\\\\(\overline{OC})^2=9+1\\\\(\overline{OC})^2=10\\\\\overline{OC}=\pm\sqrt{10}$

Portanto, o segmento $\overline{OC}=\overline{OT}=\pm\sqrt{10}$

O ponto "t" está a $\sqrt{10}$ unidades de distância da origem $O$. Porém, o ponto s está à direita da origem da reta numérica, então seu valor é positivo.

$t=\sqrt{10}$

Portanto, os pontos s e t são, respectivamente, $-\sqrt{13}$ e $\sqrt{10}$

Saiba mais sobre arco de circunferência em:

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