Question

Na figura está representada parte da reta .
Atendendo à construção, determina as abcissas dos pontos A e B assinalados na figura​

Answer 1

Os pontos A e B valem, respectivamente, $+\sqrt{5}$ e $-\sqrt{8}$.

Para responder essa questão, usaremos Teorema de Pitágoras e noções das Propriedades da Circunferência.

Veja que a figura mostra dois arcos de circunferência. Vamos analisar um a um.

• Arco da esquerda

O arco $\overset{\frown}{QB}$ faz parte de uma circunferência que tem o segmento $\overline{OQ}$ como raio. Porém, o segmento $\overline{OB}$ também é raio dessa circunferência, então $\overline{OQ}=\overline{OB}$.

Temos ainda que o segmento $\overline{OQ}$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde os catetos são a distância entre o ponto Q e o -2 na reta numérica, e a distância entre a origem O e o -2 na reta numérica. Então, usando o teorema de Pitágoras:

$(\overline{OQ})^2=2^2+2^2\\\\(\overline{OQ})^2=4+4\\\\(\overline{OQ})^2=8\\\\\overline{OQ}=\pm\sqrt{8}$

Logo,  $\overline{OQ}=\overline{OB}=\pm\sqrt{8}$. Como o ponto está à esquerda da origem na reta numérica, o ponto B é $-\sqrt{8}$.

De forma análoga, vamos analisar o arco da direita.

• Arco da direita

O arco $\overset{\frown}{PA}$ faz parte de uma circunferência que tem o segmento $\overline{OP}$ como raio. Porém, o segmento $\overline{OA}$ também é raio dessa circunferência, então $\overline{OP}=\overline{OA}$.

Temos ainda que o segmento $\overline{OP}$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde os catetos são a distância entre o ponto P e o 2 na reta numérica, e a distância entre a origem O e o 2 na reta numérica. Então, usando o teorema de Pitágoras:

$(\overine{OP})^2=2^2+1^2\\\\(\overine{OP})^2=4+1\\\\(\overine{OP})^2=5\\\\\overine{OP}=\pm\sqrt{5}$

Logo,  $\overline{OP}=\overline{OA}=\pm\sqrt{5}$. Como o ponto está à direita da origem na reta numérica, o ponto A é $+\sqrt{5}$.

Portanto, os pontos A e B valem, respectivamente, $+\sqrt{5}$ e $-\sqrt{8}$.

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