Question

Na figura está desenhada parte da representação
gráfica de uma função f, cujo domínio é R\{1}

A reta de equação x = 1 é uma assíntota
vertical do gráfico de f

Considere a sucessão de termo geral
$x_{n}$ = 1 + $\frac{1}{n}$

Seja $u_{n}$ = f ( $x_{n}$ )

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) $\lim_{} u_n$ = -∞
(C) $\lim_{} u_n$ = 1
(B) l$\lim_{} u_n$ = +∞
(D) Não existe $\lim_{} u_n$

Answer 1

De acordo com o gráfico, a única descontinuidade que  f  possui é o ponto  x = 1,  que não pertence ao seu domínio. Podemos considerar então que  f  é contínua em todo o seu domínio.


Considerando a sucessão

     $x_n=1+\dfrac{1}{n}$


e sendo

     $u_n=f(x_n)$


Queremos calcular o limite

     $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$


Como  f  é contínua em uma vizinhança de  x = 1,  podemos usar esse resultado para calcular o limite acima:

     $\dfrac{1}{n}\to 0^+$  quando  $n\to +\infty$

     $1+\dfrac{1}{n}\to 1^+$  quando  $n\to +\infty$

     $x_n\to 1^+$  quando  $n\to +\infty$


isto é,  $x=1+\dfrac{1}{n}$  tende a  1  por valores maiores que  1  (pela direita)  quando  $n\to +\infty.$


Logo, o limite procurado é

     $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n\\\\\\ =\lim_{n\to +\infty} f(x_n)\\\\\\ =\lim_{n\to +\infty} f\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\\\\\ =\lim_{x\to 1^+}f(x)\\\\\\ =-\,\infty$


Resposta:  alternativa  (A)  − ∞.


Bons estudos :-)