Question

Na figura escá representado um hexigono regular [ABCDEF] cujo apótema mede √3. O valor de FB.FD é:

Answer 1

Resposta:

(vetorFB) . (vetorFD) = 6     logo B )

( em anexo tem o hexágono, e os vetores FB e FD ; está aqui para ajudar o acompanhamento da resolução )

Explicação passo a passo:

Para determinar o valor deste Produto escalar ( ou interno ) dos vetores FB e FD, vou necessitar de saber a dimensão de cada um deles e o ângulo formado por eles.

Fórmula para cálculo deste Produto Escalar    

$cosseno(anguloFBe FD)=\dfrac{(vetorFB).(vetorFD)}{||FB||.||FD||}$

→  Consegue-se calcular o ângulo formado pelos vetores FB e FD, logo o seu cosseno.

→  Consegue-se calcular a norma de vetor FB e a norma de vetor FD.

→  Assim se chegará ao valor do Produto Escalar.

Elementos que vou indicar sem demonstrar

1 ) Um hexágono regular, inscrito numa circunferência, tem a dimensão de

cada um dos seus lados, igual ao raio da circunferência  

2 ) O arco que está entre os extremos de cada lado , mede 60º.

Logo os arcos  são todos iguais FA = AB = BC = CD = DE = EF = 60º

3 ) Um hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros, iguais

4 ) Pela Lei dos Cossenos

[ FB ] ² = [ FA ]² + [ AB ]² - 2 . [ FA ] . [ AB ] . cos(ângulo FA com AB )

5 ) A dimensão de um vetor chama-se de norma.

A norma de um vetor tem este símbolo || vetor ||    

6) Um ângulo inscrito na circunferência tem metade da amplitude do arco

compreendido entre os seus lados.

7 ) cos (120º) = - cos (60º) = - 1/2

8) $(\sqrt{12})^2=12$

Resolução:

1º - Cálculo das dimensões dum lado do hexágono

F        P           A

ººººººº|ºººººººº

º        |          º

    º    |       º

         º

          O ( ponto de cruzamento de todas as diagonais do hexágono = centro do hexágono )

O triângulo FOA é equilátero e é um dos 6 triângulos equiláteros em que se

divide um hexágono regular.

[ OP ]  = apótema do hexágono    

$apotema=\dfrac{lado*\sqrt{3} }{2}$

$\sqrt{3} =\dfrac{lado*\sqrt{3} }{2}$

multiplicar tudo por 2

$2*\sqrt{3} =\dfrac{2*lado*\sqrt{3} }{2}$

No segundo membro os valores 2 cancelam-se, na divisão

$2*\sqrt{3} =lado*\sqrt{3}$

Dividindo ambos os membros da equação, por √3

Lado do hexágono = 2  

2º Cálculo dos vetores FB e FD ( são iguais )

                A

                 º

           º             º

     º                         º

F ººººººººººººººººººººººº  B            

[ FA ] = [ AB ] =  2 = são dois lados do hexágono

[ FB ]  = ?

O ângulo FAB é inscrito na circunferência. O arco entre os seus lados é o

arco BCDEF.

Este arco mede 4 * 60º = 240º

Ângulo FAB = 240º / 2   ( por ser ângulo inscrito )

Ângulo FAB  = 120º

Pela Lei dos Cossenos

[ FB ] ² = [ FA ]² + [ AB ]² - 2 . [ FA ] . [ AB ] . cos(ângulo FA com AB )

[ FB ] ² = 2² + 2² - 2 . 2 . 2 . cos( 120º )

[ FB ] ² = 8 - 8 . (- 1/2 )

[ FB ] ² = 8 + 4

[ FB ]  = √12 = [ FD ]    

3 ) Cálculo deste Produto Escalar  

$cosseno(anguloFBe FD)=\dfrac{(vetorFB).(vetorFD)}{||FB||.||FD||}$

O ângulo entre os vetores FB e FD é um ângulo inscrito na circunferência.

O arco que está entre os seus lados, arco BCD,  mede 120º

O ângulo entre os vetores FB e FD = 120 º / 2 = 60º

cos 60º = 1/2

Ponto de situação:

Dos elementos desta fórmula sabemos:

→  o cosseno do ângulo formado pelos vetores FB e FD

→ Dimensão ( norma ) dos vetores FB e FD

→ Só falta saber o Produto escalar entre os vetores FB e FD

Conclusão dos cálculos

$\dfrac{1}{2} =\dfrac{(vetorFB).(vetorFD)}{\sqrt{12} *\sqrt{12} }$

$\dfrac{1}{2} =\dfrac{(vetorFB).(vetorFD)}{(\sqrt{12})^2} }$

$\dfrac{1}{2} =\dfrac{(vetorFB).(vetorFD)}{12} }$

produto cruzado

2 * (vetorFB) . (vetorFD) = 1 * 12

Dividindo tudo por 2

(vetorFB).(vetorFD) = 6     logo B )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão       ( . ) produto escalar