Question

Na figura deste problema mostra uma junção de duas
cordas. Na corda da esquerda é produzida uma onda senoidal com
frequência f1 se propagando para direita com velocidade v1. A primeira
onda excita a corda grossa no ponto de junção fazendo surgir uma onda
que também se propaga para direita com velocidade v2 e comprimento
de onda λ2.
(a) Determine o comprimento de onda λ2 em termos de λ1.
(b) Determine a velocidade v2 em termos de v1.
Dado: μ2 = 3 μ1, em que μ1 e μ2 é a massa especifica linear da corda
1 e 2, respectivamente.

Answer 1

A relação entre os comprimentos de onda e suas velocidades valerão, respectivamente: λ₂= λ₁√(3)/3 e v₂= v₁√(3)/3.

a) Como as cordas possuem densidades de massa diferentes, então a onda sofrerá refração ao passar para a corda 2. Deste modo, a frequência da onda na corda 1 será a mesma da onda gerada na corda 2, visto que ambas possuem a mesma fonte geradora externa.

Sendo assim, igualaremos:

$f_1 = f_2$

Pela ondulatória, podemos reescrever essa expressão da seguinte maneira:

$\frac{v_1}{\lambda _1} = \frac{v_2}{\lambda _2} \\\\\lambda _1v_2 = \lambda _2v_1\\\\\lambda_2 = \frac{\lambda _1v_2}{v_1}$

Agora vamos trabalhar com as densidades de massa. Podemos considerar que ambas cordas estão sobre a mesma força de tensão T. Deste modo, vale a igualdade:

$T_1 = T_2$

Desenvolvendo-a:

$v_1^2\mu _1 = v_2^2 \mu _2\\\\v_2^2 = \frac{v_1^2\mu _1}{\mu_2} \\\\v_2 = v_1\sqrt{\frac{\mu _1}{\mu _2} }$

Substituindo a relação μ₂ = 3*μ₁ fornecida no enunciado, ficaremos com:

$v_2 = v_1\sqrt{\frac{\mu _1}{3\mu _1} } = \frac{v_1}{\sqrt{3} } = \frac{v_1\sqrt{3} }{3}$

Por fim, substituindo essa relação na expressão que encontramos anteriormente para os comprimentos de onda:

$\lambda_2 = \frac{\lambda _1v_2}{v_1} = \frac{\lambda _1}{v_1} *\frac{v_1\sqrt{3} }{3} \\\\\lambda _2 = \frac{\lambda _1 \sqrt{3} }{3}$

b) Conforme calculamos na letra a), a relação entre as velocidades de propagação vale:

$v_2 = \frac{v_1\sqrt{3} }{3}$

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Answer 2

Resposta:

respectivamente: λ₂= λ₁√(3)/3 e v₂= v₁√(3)/3.

Explicação: