Question

Na figura, calcule a distância de A a B

Answer 1

no triângulo cujo ângulo mede 30º  temos hipotenusa = 18cm, vamos calcular o cateto adjacente x       cos30º = x/18 ------->  √3/2 -----> 2x = 18√3 ----------------------> x = 18√3/2 ∴ x = 9√3 cm.

no triângulo cujo ângulo mede 60º temos cateto oposto = 30cm, cateto adjacente = y. daí,  tangente de 60º = cateto oposto/cateto adjacente: 

tag 60º = 30/y -----> √3/1 = 30/y ----->  √3y = 30.1 ----->  y = 30/√3, racionalizando o denominador, temos:  30√3/√3.√3 ----->  30√3/3  ------------------------>  y = 10√3cm.  somando as duas partes, teremos a distância entre AB     Resposta:    AB  =   9√3 + 10√3 ----->  AB =  19√3cm

Answer 2

A distância entre os pontos A e B é de 19√3 cm.

Podemos determinar o comprimento de AB através das relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Relações Trigonométricas

As relações trigonométricas buscam relacionar os lados de um triângulo com a medida dos seus ângulos.

As principais relações trigonométricas no triângulo retângulo seno, cosseno e tangente, e podem ser calculadas para um ângulo α por:

$\boxed{ sen \alpha = \dfrac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}} } \\\\\\\boxed{cos \alpha = \dfrac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}} } \\\\\\\boxed{tg \alpha = \dfrac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Cateto Adjacente}}} }$

Podemos aplicar a relação cosseno para o ângulo de 30º. Sendo a hipotenusa igual a 18 cm, o lado adjacente ao ângulo de 30º é igual a:

$cos 30^{\circ} = \dfrac{AP}{18}$

O ângulo 30º é um ângulo notável e seu cosseno vale $\frac{\sqrt{3} }{2}$. Assim, a medida do comprimento AP é:

$AP = 18 \cdot cos \: 30^{\circ} \\\\AP= 18 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \\\\\boxed{AP = 9\sqrt{3} \: cm }$

Utilizando a relação trigonométrica tangente no ângulo de 60º, determinamos a medida de PB:

$tg \: 60^{\circ} = \dfrac{30}{PB}$

O ângulo 60º é um ângulo notável e sua tangente vale √3. Assim, a medida do comprimento PB é:

$PB = \dfrac{30}{tg \: 60^{\circ}} \\\\PB = \dfrac{30}{\sqrt{3} } \\\\PB = \dfrac{30}{\sqrt{3} } \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \\\\\boxed{PB = 10 \sqrt{3} \: cm }$

A medida AB será igual à soma das medidas AP e PB:

$AB = AP+PB \\\\AB = 9\sqrt{3} + 10 \sqrt{3} \\\\\boxed{\boxed{ AB = 19\sqrt{3} \: cm }}$

A medida do comprimento AB é igual a 19√3 cm.

Para saber mais sobre Triângulos Retângulos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/51209094

Espero ter ajudado, até a próxima :)

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