Question

Na figura, as circunferências de mesmo raio tem centros em A, B C e D e são tangentes exteriormente, como mostra a figura. Os pontos E, F, G e H são
pontos de tangencia. Sabendo que AC= 10$\sqrt{2}$ cm, determine o comprimento do trajeto AB + BC + CD + DE + EH + HG + GF + FE + EA

Answer 1

Seja D = Diâmetro
r = raio
d = diagonal do quadrado (10V2)
2r = L (lado do quadrado)

1º vamos descobrir o valor do lado do quadrado. Para isso aplicamos Pitágoras:
(10V2)² = L² + L²
100*2 = 2L²
L² = 100
L = 10

2º Descobri que o lado vale 10cm, então o raio é metade, 5.

3º Sabendo o valor do raio r = 5, aplica-se Pitágoras novamente para determinar, por exemplo, o segmento EH.

x = diagonal do segmento EH.

x² = 5² + 5²
x² = 50
x = V50
x = 5V2cm

4º Como sabemos o valor do comprimento do trajeto, basta substituir:

AB + BC + CD + DE + EH   + HG + GF + FE + EA =
10  +  10 + 10  +  5   + 5V2 + 5V2 +5V2 + 5V2 + 5 =
(40 + 20V2) cm

Answer 2

O comprimento do trajeto AB + BC + CD + DE + EH + HG + GF + FE + EA é igual a 40 + π cm.

Vamos considerar que r é a medida dos raios das quatro circunferências.

Perceba que o lado do quadrado é igual a 2r.

Temos a informação de que a diagonal do quadrado mede 10√2. A diagonal do quadrado é definida por x√2. Sendo assim, temos que:

10√2 = 2r√2

2r = 10

r = 5 cm.

Então, podemos afirmar que a soma AB + BC + CD + DE + EA é igual a:

AB + BC + CD + DE + EA = 10 + 10 + 10 + 5 + 5

AB + BC + CD + DE + EA = 40 cm.

Agora, vamos calcular os trajetos EH, HG, GF e FE.

Para isso, é importante lembrarmos que a fórmula do comprimento do arco da circunferência é definida por:

• $l=\frac{\pi r \alpha}{180}$.

Como os raios medem 5 cm e os ângulos centrais são iguais a 90º, então:

EH + HG + GF + FE = 4.π.5.90/180

EH + HG + GF + FE = π cm.

Portanto, podemos concluir que:

AB + BC + CD + DE + EH + HG + GF + FE + EA = 40 + π cm.

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