Question

Na figura apresentada a seguir o ângulo A tem medida de 72 graus e r é bissetriz do ângulo ACD de vértice C e paralelo a AB. Os ângulos medem quanto?

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Answer 1

Para facilitar o acompanhamento da resolução, considere a edição feita no desenho (anexo).

Perceba que os ângulos "A" e 72° são suplementares, ou seja, sua soma é igual a 180°, logo:

$A~+~72^\circ~=~180^\circ\\\\\\A~=~180^\circ~-~72^\circ\\\\\\\boxed{A~=~108^\circ}$

Os ângulos "C" e 72° são alternos externos e, portanto, iguais, logo:

$\boxed{ C~=~72^\circ}$

Os ângulos "C" e "x" são opostos pelo vértice, logo são iguais:

$x~=~C\\\\\\\boxed{x~=~72^\circ}$

Como "r" é bissetriz de "ACD", "x" e "y" possuem a mesma medida, logo:

$y~=~x\\\\\\\boxed{y~=~72^\circ}$

Os ângulos "θ" e "ACD" são suplementares, logo:

$\theta~+~A\hat{C}D~=~180^\circ\\\\\\\theta+(x+y)~=~180^\circ\\\\\\\theta+(72^\circ+72^\circ)~=~180^\circ\\\\\\\theta~=~180^\circ~-~144^\circ\\\\\\\boxed{\theta~=~36^\circ}$

Os ângulos "z" e 72° são opostos pelo vértice e, portanto, iguais, logo:

$\boxed{z~=~72^\circ}$

Os ângulos "θ", "z" e "β" são ângulos internos de um triangulo, logo sua soma vale 180°:

$\beta+\theta+z~=~180^\circ\\\\\\\beta+36^\circ+72^\circ~=~180^\circ\\\\\\\beta~=~180^\circ-108^\circ\\\\\\\boxed{\beta~=~72^\circ}$