Question

Na figura APB, AQM e MRB são semi circulos e AM = 2MB. A razão da area hachurada para a area do semi disco APB é:
a resposta é 4/9
preciso saber como chegar a esse resultado (resolução)
POR FAVOR ME AJUDEM É URGENTE!!!

Answer 1

O diâmetro é da semicircunferência maior é $MB+AM$ como $AM=2MB$ temos $MB+2MB=3MB$ o raio é $\frac{3MB}{2}$.

Área de APB

$\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi (\frac{3MB}{2})^2}{2}=\frac{9MB^2\pi}{8}$

Área AQM

$\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi BM^2}{2}$

Área MRB

$\frac{\pi BM^2}{2}=\frac{\pi (\frac{MB}{2})^2}{2}=\frac{MB^2\pi}{8}$

Área Hachurada

Área de APB - Área AQM - Área MRB

$\frac{9MB^2\pi}{8}-\frac{\pi BM^2}{2}-\frac{MB^2\pi}{8}=\frac{4MB^2\pi}{8}=\frac{MB^2\pi}{2}$


Resposta

$\frac{\frac{MB^2\pi}{2}}{\frac{9MB^2\pi}{8}}= \frac{4}{9}$

Hugs

Answer 2

Vamos chamar o raio da semi-circunferência menor de x
Sua área é calculada por:

$A_1=\frac{\pi.x^2}{2}$

Neste caso o raio da semi-circunferência intermediária é 2x
Sua área é calculada por:

$A_2=\frac{\pi.4x^2}{2}=2 \pi x^2$

O raio da semi circunferência maior é: 3x
Sua área é calculada por:

$A_3=\frac{\pi (3x)^2}{2}=\frac{9 \pi x^2}{2}$

A área considerada é obtida indiretamente efetuando as seguintes operações:

$A=A_3-(A_2+A_1) \\ \\ A=\frac{9 \pi x^2}{2}-(2 \pi x^2+\frac{\pi x^2}{2}) \\ \\ A=\frac{9 \pi x^2}{2}-2 \pi x^2-\frac{\pi x^2}{2} \\ \\ A=\frac{9 \pi x^2-4 \pi x^2 -\pi x^2}{2} \\ \\ A=\frac{4 \pi x^2}{2} \\ \\ A=2\pi x^2$

Obtendo a razão procurada:

$r=\frac{2 \pi x^2}{\frac{9 \pi x^2}{2}}=2 \pi x^2.\frac{2}{9 \pi x^2}=\frac{4}{9}$