Question

Na figura ao lado,uma barra de vidro forma uma semicircunferência  de raio r=5,00 cm. Uma carga +q = 4,50 pC está distribuídas uniformemente na parte superior da barra e uma carga
-q = -4,50pC está uniformemente distribuída na parte inferior. Determine:

a) O módulo do campo elétrico E no ponto P, situado no centro do semicírculo;

b) A orientação (em relação ao semieixo x positivo) do campo elétrico E no ponto P,situado no centro do semicírculo.

Obs: Preciso da Resolução.

Answer 1

dados 
raio = r = 0,05 m
carga = q = 4.5 pC

a carga +dq ...gera um campo eletrico dE
como a carga é positiva o campo terá um sentido de afastamento

se vc pegar um ponto simétrico ao da carga +dq 
vc irá pegar um ponto de carga -dq 
como a carga é negativa o campo terá um sentido de aproximação

como as cargas tem o mesmo módulo
ao decompor esses vetores de campo eletrico nos eixo x e y
vc terá no eixo x
a componente do campo gerado pela carga +dq apontado pra direita
a componente do campo gerado pela carga  -dq apontando para a esquerda

as cargas são iguais..as distancias tambem..os dois campos irão se anular

daí o vetor resultante será na direção -j .
tendo apenas valores negativos em y
como as componentes geradas pela carga +dq e -dq irão se somar

o vetor resultante será o dobro da componente dEy
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como a carga está distribuida uniformemente

$\lambda = \frac{Q}{l}$
λ = densidade da carga
Q = carga 
l = comprimento

pegando carga pontual...que está em um pequeno comprimento temos
$\lambda = \frac{dq}{dl} \\\\ \boxed{\boxed{\lambda *dl = dq}}$

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o campo elétrico 
$\boxed{E = K*\frac{Q}{d^2} }$

E = campo eletrico
Q = carga 
d = distancia 

como pode-se ver no anexo
$dE_y = dE*cos(\theta)$

o compo eletrico gerado pela carga pontual.. será
$\boxed{dE = K* \frac{dq}{r^2} }$

substituindo o valor de dq temos
$\boxed{dE = \frac{ K *\lambda*dl}{r^2} }$

observando tambem a relação em coordenadas polares
o comprimento dl varia de acordo com a variação do angulo Ф
substituindo o valor de dl
$dE = \frac{ K* \lambda * r* d\theta}{r^2} \\\\\\ \boxed{\boxed{dE = \frac{k\lambda d\theta }{r} }}$

agora temos a relação
$\boxed{dE_y = \frac{k\lambda d\theta }{r} * cos(\theta)}$

pode-se ver que se vc integrar dos dois lados da igualdade 
vc terá o valor do campo Ey

como estamos observando só o quarto de circulo azul
o o angulo varia de 0 a 90º
$\boxed{0 \leq r \leq \frac{\pi}{2} }$

como  estamos observando só o quarto de circulo 
multiplica a integral por 2

então a integral fica

$\boxed{ \int\limits dE_y = 2*\int\limits^{ \frac{\pi}{2} }_0 \frac{k\lambda d\theta }{r} * cos(\theta)}$

como é tudo constante menos o angulo temos
$\boxed{\boxed{E_y= \frac{2k\lambda }{r} \int\limits^{ \frac{\pi}{2} }_0 cos(\theta)* d\theta }}$

resolvendo a integral
$\int\limits^{ \frac{\pi}{2} }_0 cos(\theta)* d\theta } = |sen(\theta)|\limits^{^{ \frac{\pi}{2} }}_{_0}=sen( \frac{\pi}{2})-sen(0) = 1$

daí ficamos com a expressão

$\boxed{\boxed{E_y= \frac{2k\lambda }{r} }}$

mas como vimos 
$\lambda = \frac{Q}{l}$

o comprimento l é dado por π*r

$E_y = \frac{2*K* \frac{Q}{\pi*r} }{r} \\\\\ \boxed{\boxed{E_y = \frac{2*K*Q}{\pi*r^2} }}$

lembrando que esse campo gerado pela carga +dq
vai se somar com o campo gerado pela carga -dq
como as duas cargas tem o mesmo módulo

é só multiplicar o valor do campo por 2
$\boxed{\boxed{E_y = \frac{4*K*Q}{\pi*r^2} }}$

substituindo os valores

$K = 8,99*10^{9}\\\\Q = 4,5*10^{-12}\\\\r =5*10^{-2}$
.........

${E_y = \frac{4* 8,99*10^{9}* 4,5*10^{-12}}{\pi*(5*10^{-2})^2} }\\\\ \boxed{E_y = 20,603 \frac{N}{C} }$

b) direção -j






(ignore os valores nos eixo do desenho kk)