Question

Na figura ao lado,tem-se uma circunferência inscrita num trapézio isósceles ABCD.Se AB=26 e BC=36, a medida do raio da circunferência é :

Answer 1

Eu fiz assim:

A gente sabe que num trapézio isósceles os lados não pararelos tem a mesma medida, então AB e DC valem 26. Também podemos dizer que as soma de 2 lados opostos tem que ser igual à soma dos outros 2 lados opostos.

Vamos anotar o que nós já temos:

AD = x

AB = DC = 26

BC = 36

Podemos traçar uma linha vertical perpendicular do vértice A até o lado BC, formando um triângulo retângulo, porque aí quando a gente achar a altura dele, vai ser equivalente ao diâmetro do círculo (e a questão pede o raio).

Os dados do triângulo seria a hipotenusa AB valendo 26, a altura do vértice A até o lado BC que a gente não sabe e o cateto do vértice B até o ponto que a altura fica.

Como a gente não tem informações suficientes pra aplicar o teorema de Pitágoras e encontrar a altura, então vamos encontrar a medida x, que é o lado AD usando a relação da soma que eu falei anteriormente.

AD + BC = AB + DC

X + 36 = 26 + 26

X = 52 - 36 = 16

Então descobrimos que o lado AD vale 16. A partir daí a gente pode descobrir o cateto que a gente queria. Se prolongarmos outra reta vertical, igual o que fizemos no vértice A, do ponto D até o lado BC a gente fica com a medida do AD + duas medidas de cateto, então como o lado BC vale 36 a gente consegue achar esse valor.

Vamos chamar o valor do cateto de y

y + 16 + y = 36

2y = 36 - 16

y = 10

Sabendo que o cateto vale 10 já podemos aplicar o teorema de Pitágoras para descobrir a altura, que corresponde ao diâmetro da circunferência. Vou chamar o ponto que a gente traçou a altura de P.

AB² = AP² + BP²

26² = AP² + 10²

AP² = 676 - 100

AP = √576

AP = 24

Como AP corresponde ao diâmetro da circunferência e ele pede o raio é só dividir por 2 e ficamos com:

AP = diâmetro = 2 x raio = 24

2r = 24

r = 12