Question

Na figura ao lado, representamos a arcada dentária inferior de uma pessoa. Na tentativa de colocar o primeiro molar na posição correta, podemos ligá-lo aos dentes incisivo e terceiro molar por meio de dois elásticos (A e B), cujas constantes elásticas são $k~=~2\sqrt{2}~N/m$ . O elástico A é fixo e produz uma força elástica constante igual a $\sqrt{3}~\cdot~10^{-2}~N$ . Um parafuso P é preso ao elástico B de tal forma que, ao girá-lo, o elástico estica 1 mm a cada volta completa. Quantas voltas devemos dar no parafuso para que o dente seja puxado somente na direção x, sabendo que o elástico B estava inicialmente em sua posição natural de equilíbrio?


RESPOSTA = 5 voltas (mas quero a explicação detalhada de como chegar nesse resultado).

Dados na imagem.

Answer 1

$Temos~como~resultado, 5x10^-^3m,~que~corresponde ~a~ 5mm$

Temos um encontro de Força Elástica (constante elástica) e trigonometria

Pelo enunciado do exercício podemos traçar uma estratégia de resolução

Não a única (Temos várias)

Sabemos que:

Constante Elástica

e Força elástica

Sabendo que:

Fe=K.Δx

$k=2\sqrt{2} N/m\\\\\\Fe=\sqrt{3} .10^-^2N$

O enunciado nos diz que devemos "arrastar" o dente em direção ao eixo "x", logo deduz se que a força resultante em y é nula.

Vamos a alguns arcos notáveis

$Seno~de~30^0=Cosseno~de~60^0~=~\dfrac{1}{2} \\\\\\Seno~de~45^0=Cosseno~de~45^0~=~\dfrac{\sqrt{2} }{2} \\\\\\Cosseno~~30^0~=~\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\\\\\E~que~K~(Constate~elastica)~=~Tangente~=~\dfrac{Cateto~Oposto~(Fe)}{Cateto~Adjacente~(X)} \\\\\\Tangente~=~\dfrac{Fe}{x}$

Vamos abordar a cerca do eixo do "y"

Fy=F.Cos 30° e que Fy = Fe

Logo, temos:

$Fy=Fe\\\\\\Sendo ~Fy=F.Cos~30^0\\\\\\F.Cos~30^0=Fe~(no~~eixo~~y)\\\\\\F.cos~30^0=Fe.Cos~45^0\\\\\\F.\dfrac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3} .10^-^2.(\dfrac{\sqrt{2} }{2} )\\\\\\F=\dfrac{\sqrt{3}.10^-^2N.\dfrac{\sqrt{2} }{2} }{\dfrac{\sqrt{3} }{2} } }$

$F=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{2}.10^-^2N }{2} .\dfrac{2}{\sqrt{3} } \\\\\\Simplificando,~temos:\\\\\\F=\sqrt{2} .10^-^2N\\\\\\Lembrando~que:\\\\\\Fe=K.x\\\\\\\sqrt{2}.10^-^2N=2\sqrt{2} N/m.x\\\\\\x=\dfrac{\sqrt{2}.10^-^2N }{2\sqrt{2}N/m }\\\\\\x=\dfrac{1.10^-^2m}{2} \\\\\\x=\dfrac{0,01m}{2}\\\\\\x=0,005m\\\\\\x=5mm$

Sabemos que a cada 1 volta temos 1mm, Logo em 5mm temos 5 voltas