Question

Na figura ao lado, o triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência de centro O e o segmento OP mede 2 cm. Calcule: a) a medida do lado do triângulo; b) a área desse triângulo; c) a medida do raio da circunferência; d) a área da região sombreada, localizada entre a circunferência e o triângulo.​

Answer 1

Resposta:

O centro da circunferência que circunscreve o triângulo é o baricentro (encontro das medianas), ortocentro (encontro das alturas) e incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo.

Sabemos que o baricentro de um triângulo divide a mediana em dois segmentos, de tal modo que o segmento OP é proporcional a 1 e o segmento OA (OB ou OC) é proporcional a 2.

Assim, se OP mede 2 cm, os segmentos OA, OB e AC, que são raios da circunferência circunscrita, medem o dobro dele. Então, o raio da circunferência mede:

OA = OB = OC = r = 2 × 2 cm = 4 cm, raio da circunferência

O lado do triângulo (x), em função do raio (r = 4 cm) é igual a:

x = r√ 3

x = 4√3 ou 6,928 cm, lado do triângulo

A área (A) do triângulo em função da medida do raio (r) é igual a:

A = 3r²√3 ÷ 4

Substituindo o valor obtido para r (4 cm):

A = 3 × 4² × √3 ÷ 4

A = 3 × 16 × √3 ÷ 4

A = 3 × 4 × √3

A = 12√3, ou 20,784 cm², área do triângulo

Answer 2

A medida do lado do triângulo é de 6,93 cm, a área desse triângulo é de 20,78cm², o raio dessa circunferência é 4cm e a área da região sombreada é de 29,46cm².

Proporcionalidade entre as medidas de um triângulo

Quando há um baricentro em um triângulo, podemos entender que há uma relação entre alguns segmentos de reta estabelecidos dentro a esse mesmo triângulo.

A relação existente entre o segmento de reta $\overline{OP}$ e a os segmentos de reta é de $\overline{OA}, \overline{OB},\overline{OC}$ 2, sabendo essa informação, basta multiplicar o valor de $\overline{OP}$ por 2, assim, temos o raio da circunferência:

$r = \overline{OP}.2=4cm$

Para descobrir o lado do triângulo, podemos utilizar a seguinte formulação:

$l = \sqrt{3}r = \sqrt3.4= 6,93cm$

Para a área, para triângulos equiláteros, temos a seguinte formulação:

$A =\frac{ l^2 \sqrt3}{4}$

Aplicando as informações da questão:

$A = 3r^2 \sqrt3/4= 3.4^2 \sqrt3/4 = 20,78cm^2$

Agora para encontrar a região sombreada, vamos diminuir a área do círculo e da circunferência:

$A = \pi r^2 - 20,78 = 29,46 cm^2$

Para aprender mais sobre triângulos, acesse:https://brainly.com.br/tarefa/44237753

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