Question

Na figura ao lado o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados bd=4 cm e cd=5 cm e CBD=90 graus, qual a medida do segmento ad?

Answer 1

Sabemos que o triângulo ABC é equilátero. Logo, AB = 3 cm.

Sabemos também que BD = 4 cm.

Além disso, perceba que todos os ângulos do triângulo ABC medem 60°, já que ele é equilátero. Portanto, o ângulo ABD mede 150°.

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABD, podemos determinar a medida do lado AD:

(AD)² = (AB)² + (BD)² - 2.(AB).(BD).cos(150°)

(AD)² = 3² + 4² - 2.3.4.(-√3/2)

(AD)² = 9 + 16 + 12√3

(AD)² = 25 + 12√3

$AD = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$

Answer 2

A medida do segmento AD é $\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ cm.

Como o triângulo ABC é equilátero, então a medida do segmento AB é igual a 3 cm. Do enunciado, temos a informação que BD = 4 cm. Além disso, a medida do ângulo interno B do triângulo ABD é igual a 90º + 60º = 150º.

Vamos utilizar a lei dos cossenos para calcular a medida do segmento AD. Essa lei nos diz que:

• Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual a soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo por ele formado.

Dito isso, temos que:

AD² = AB² + BD² - 2.AB.BD.cos(150)

AD² = 3² + 4² - 2.3.4.$(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

AD² = 9 + 16 + 12√3

AD² = 25 + 12√3

AD = $\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ cm.