Question

Na figura ao lado há 7 pontos marcados em uma das retas e 3 pontos marcados na outra. Quantos triângulos distintos é possível construir com esses 10 pontos? a) 21. b) 35. c) 63. ►d) 84. e) 120.

Answer 1

É possível construir 84 triângulos com esses 10 pontos.

Temos duas possibilidades: A base do triângulo está na reta com sete pontos ou a base do triângulo está na reta com três pontos.

1ª possibilidade

Precisamos escolher dois pontos para formar a base para o triângulo. Observe que a ordem da escolha não é importante. Então, utilizaremos a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Então, existem

$C(7,2)=\frac{7!}{2!5!}$

C(7,2) = 21 formas de escolher os dois pontos.

Para escolher o terceiro vértice, temos 3 opções. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 21.3 = 63 triângulos.

2ª possibilidade

Existem

$C(3,2)=\frac{3!}{2!1!}$

C(3,2) = 3 formas de escolher os dois pontos.

Já para o terceiro vértice, existem 7 possibilidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 3.7 = 21 triângulos.

Assim, concluímos que é possível construir 63 + 21 = 84 triângulos distintos.