Question

Na figura ao lado, ABCD é um trapézio cujas diagonais AC e BD se cortam no ponto P. Se as áreas dos triângulos APB e CPD são iguais, respectivamente, a 16 cm² e 9 cm², qual será a área do trapézio?

Answer 1

Bom dia 

Seja :

x medida do segmento ab

h(1) altura do Δabp

h(2) altura do Δcpd

h =h(1)+h(2) altura do Δabc

S   representa a área

$Sapb{= \frac{x* h_{1} }{2}=16 }$⇒$x= \frac{32}{ h_{1} }$

A razão entre as áreas de  Δabp e Δcpd é  16 / 9  logo a razão entre suas alturas é 4/3.Temos então :

$\frac{ h_{1} }{ h_{2} } = \frac{4}{3}$⇒$\frac{ h_{1}+ h_{2} }{ h_{1} } = \frac{4+3}{4}$

$h_{1} + h_{2} = \frac{7 h_{1} }{4} =h$

$S_{abc} = \frac{xh}{2}$⇒

$S_{abc}= \ \frac{( \frac{7 h_{1} }{4} )( \frac{32}{ h_{1} } )}{2}$


⇒$S_{abc}= \frac{56}{2} = 28$

$S_{bcp}= S_{abc} - S_{apb} = 28 -16 = 12$

$S_{adp}= S_{bcp} = 12$

Área do trapézio =  9+16+12+12 = 49cm²