Question

Na figura acima, o triângulo MAR é equilátero, com seus lados medindo 2cm. Os dois arcos de circunferência têm centro no vértice A e um deles tangencia o lado RM. Determine a área da região da figura pintada de:

a) verde
b) rosa
c) azul​

Answer 1

As áreas das regiões pintadas de verde, rosa e azul, são respectivamente, $S_v=\frac{\pi}{6}$ cm², $S_r=\frac{\pi}{3}$ cm² e $S_a = \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$ cm².

a) Como o triângulo é equilátero, então o setor verde possui 60°.

A área de um setor é calculada pela fórmula: $S=\frac{\alpha \pi r^2}{360}$.

Como o raio do setor é igual a 1 cm, então a área da região verde é igual a:

$S_v=\frac{60.1^2.\pi}{360}$

$S_v=\frac{\pi}{6}$ cm².

b) Agora, vamos calcular a área da região rosa. Perceba que essa área é igual à área do setor maior menos a área do setor verde.

Perceba que o triângulo ABR é retângulo. Além disso, temos que AR = 2 cm e BR = 1, pois a altura do triângulo equilátero divide a base ao meio.

Então, pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

2² = 1² + AB²

4 - 1 =AB²

AB = √3 cm.

Logo, a área da região rosa é igual a:

$S_r=\frac{60.(\sqrt{3})^2.\pi}{360} - \frac{\pi}{6}$

$S_r=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}$

$S_r=\frac{\pi}{3}$ cm².

c) A área da região em azul corresponde à área do triângulo menos as duas áreas encontradas acima.

A área do triângulo equilátero é calculada pela fórmula: $S=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.

Assim,

$S_a=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}$

$S_a = \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$ cm².