Question

Na figura acima, as circunferências e sào tangentes no ponto C e tangentes à reta r nos pontos E e F , respectivamente. Os centros, 0( e O-, , das circunferências pertencem à reta s. Sabe-se que r e s se interceptam no ponto A, formando um ângulo de 30°.Se AE mede 2>/3 cm , então os raios das circunferências respectivamente,a)n/3 cm e 4Ts cme 2 cm e 6 cm e 4 cmA.| e À.2 medem,b)c)d)e)v 3 cm 2 cm 2 cm2v3 cm e 4 cm

Answer 1

Primeiramente, vamos analisar o triângulo retângulo formado pelos pontos A, O1 e E, que possui o ângulo reto em E. O segmento O1E será o r, ou seja, o raio da circunferência menor. Desse modo, utilizamos a seguinte relação trigonométrica:

Tg 30º = O1E ÷ AE

Substituindo, temos:

√3 ÷ 3 = r ÷ 2√3

r = 2 cm

Com esse valor, podemos utilizar outra relação trigonométrica para determinar o comprimento do segmento AO1:

sen 30º = r ÷ AO1

1 ÷ 2 = 2 ÷ AO1

AO1 = 4 cm

Por fim, para determinar o raio maior (R) vamos utilizar a semelhança de triângulos:

R ÷ r = AO2 ÷ AO1

R ÷ 2 = (4 + 2 + R) ÷ 4

4R = 12 + 2R

R = 6 cm

Portanto, os raios menor e maior medem, respectivamente, 2 cm e 6 cm.

Alternativa correta: C.