Question

Na figura, abcd é um quadrado de lado medindo 2 cm e o é o centro da circunferência inscrita nesse quadrado. Calcule a medida do raio da circunferência menor, que é tangente à circunferência maior e a dois lados adjacentes do quadrado

Answer 1

O raio da circunferência menor é igual a 3 - 2√2 cm.

Triângulos retângulos

Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos calcular a medida de um dos lados desses triângulos caso saibamos os outros dois. Sendo a o valor da hipotenusa, tem-se:

a² = b² + c²

Note na figura que podemos formar um triângulo retângulo com as medidas dos raios das circunferências. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(R + r)² = (R - r)² + (R - r)²

R² + 2Rr + r² = R² - 2Rr + r² + R² - 2Rr + r²

R² - 6·Rr + r² = 0

Como sabemos que o lado do quadrado mede 2 cm, então o raio da circunferência maior mede 1 cm, desta forma:

1 - 6r + r² = 0

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, encontra-se:

Δ = (-6)² - 4·1·1

Δ = 32

r = [6 ± √32]/2

r = 3 ± 2√2

Sabemos que o raio r é menor que R, então, a solução válida é r = 3 - 2√2 cm.

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