Question

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1. E, F, G e H
são pontos médios de AB, BC, CD, AD, respectivamente. I, J, K e L pontos médios de EF, FG, GH, EH, respectivamente. Continuando esse processo indefinidamente, obtemos uma seqüência de quadrados. A soma das
áreas de todos os quadrados é:
resposta= 2

Answer 1

A área de uma quadrado é dado pela fórmula:

A = l²

O primeiro quadrado (ABCD) tem lado 1, conforme o enunciado. Assim,

A = l²

A = 1 u.a.  (u.a. = unidade de área, que poder m², cm², ...)

O segundo quadrado (EFGH) tem lado √2/2 (OLHAR FIGURA), porque a diagonal de um quadrado é l√2.

Explicação:

Lado AD = 1

Lado AH = 1/2 (o ponto médio divido o lado em 2)

d = l√2

d = 1/2 × √2

d = √2/2

Assim,

A = l²

A = (√2/2)²

A = 2/4

A = 1/2 u.a.

O terceiro quadrado (IJKL) tem lado 1/2 (OLHAR FIGURA), porque a diagonal de um quadrado é l√2.

Assim,

A = l²

A = (1/2)²

A = 1/4 u.a.

Note que existe uma sequência lógica.

1, $\frac{1}{2}$, \frac{1}{4},...

Se for continuar, ela será ...

1, $\frac{1}{2}$, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...

Note que do primeiro termo para o segundo termo, é valor multiplicado por \frac{1}{2}

1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1}{4} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Assim, é possível concluir que a soma de todos os quadrados é a soma de uma progressão geométrica infinita, cuja a razão vale \frac{1}{2}

Fórmula da P.G infinita.

Sₙ = a₁ / (1 - q)

Sₙ = 1 / (1 - \frac{1}{2})

Sₙ = 1 / (frac{1}{2})

Sₙ = 2

REPOSTA: A soma das áreas de todos os quadrados é 2

A resolução está grande.

Com o tempo fica evidente que exercícios assim podem se tratar de uma P.G infinita assim que lê o enunciado.

Sucesso!