Question

na figura, ABC representa o trecho de uma estrada que cruza o patio circular de centro O e raio R Se AC=2R=AO, determine BC

Answer 1

$Observe \ o \ anexo.$

$No \ \Delta \ AOC \ \longrightarrow$

$Sendo \ AC \ = \ AO \ = \ 2 \ \cdot \ r \ e \ OC \ = \ r, \ aplicamos \ a \ lei \ do \ cosseno \\ para \ o \ \^angulo \ O\widehat{C}A.$

$AO^2 \ = \ AC^2 \ + \ OC^2 \ - \ 2 \cdot \ AC \ \cdot \ OC \ \cdot \ cos(O\widehat{C}A) \ \rightarrow \\ \\ (2 \ \cdot \ r)^2 \ = \ (2 \ \cdot \ r)^2 \ + \ r^2 \ - \ 2 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ r \ \cdot \ r \ \cdot cos(O\widehat{C}A) \ \rightarrow \\ \\ \not{4} \ \cdot \ \not{r^2} \ = \ \not{4} \ \cdot \ \not{r^2} + \ \not{r^2} \ - \ 4 \cdot \ \not{r^2} \ \cdot \ cos(O\widehat{C}A) \ \rightarrow \\ \\ 0 \ = \ 1 \ - \ 4 \ \cdot \ cos(O\widehat{C}A) \ \rightarrow$

$\boxed{ cos(O\widehat{C}A) \ = \ \frac{1}{4}}$

$No \ \Delta \ BCO \ \longrightarrow$

$Sendo \ BO \ = \ CO \ = r \ e \ BC \ = \ ?, \ aplicamos \ a \ lei \ do \ cosseno \\ para \ o \ \^angulo \ O\widehat{C}B \ = \ O\widehat{C}A.$

$BO^2 \ = \ BC^2 \ + \ OC^2 \ - \ 2 \cdot \ BC\ \cdot \ OC \ \cdot \ cos(O\widehat{C}B) \ \rightarrow \\ \\ BO \ = \ CO \ = \ r \ e \ cos(O\widehat{C}B) \ = \ cos(O\widehat{C}A) \ = \ \frac{1}{4} \ \rightarrow \\ \\ \not{r^2} \ = \ BC^2 \ + \not{r^2} \ - \ 2 \cdot \ BC \ \cdot \ r\ \cdot \ \frac{1}{4} \ \rightarrow \\ \\ 0 \ = \ BC^2 \ - \ \frac{BC \ \cdot \ r}{2} \ \rightarrow \\ \\ \frac{\not{BC} \ \cdot \ r}{2} \ = \ BC^{\not{2}} \ (BC \ \neq \ 0) \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{BC \ = \ \frac{r}{2}}}$

Answer 2

Considerando as relações métricas na circunferência, descobrimos que a medida BC é r/2.

Relações métricas na circunferência

Prolongamos o segmento AO, formando o segmento AE, que é secante à circunferência, pois a intercepta em dois pontos.

Assim, formamos dois segmentos secantes a uma circunferência a partir de um mesmo ponto: os segmentos AC e AE. Logo, temos:

AB·AC = AD·AE

Pela figura, sabemos que DO = OE = r.

Como AO = 2r, temos AD = r.

AB·AC = AD·AE

AB·2r = r·3r

AB·2r = 3r²

AB = 3r²

        2r

AB = 3r

        2

AC = AB + BC

2r = 3r + BC

       2

4r = 3r + 2BC

2BC = 4r - 3r

2BC = r

BC = r

        2

Mais sobre relações métricas na circunferência em:

https://brainly.com.br/tarefa/18663645

#SPJ5