Na figura abaixo, temos um retângulo inscrito em uma circunferência. Se esse retângulo tem área de 24 cm² e perímetro de 20 cm, qual é o valor da área sombreada? Utilize a aproximação π = 3. Por favor explicar raciocínio
Soluções para a tarefa
As alternativas são:
a) 12 cm²
b) 14 cm²
c) 15 cm²
d) 16 cm²
e) 18 cm²
Solução
Vamos considerar que a largura do retângulo seja x e o comprimento seja y.
Sabemos que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões, ou seja,
x.y = 24.
Além disso, sabemos que perímetro é igual à soma de todos os lados do polígono, ou seja,
2x + 2y = 20
x + y = 10
x = 10 - y.
Substituindo o valor de x em xy = 24:
(10 - y).y = 24
10y - y² = 24
y² - 10y + 24 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos dois valores para y: y = 4 e y = 6.
Se y = 4, então x = 6 ou Se y = 6, então x = 4.
Perceba que a diagonal do retângulo é justamente o diâmetro da circunferência.
Vamos considerar que o diâmetro é d.
Então, pelo Teorema de Pitágoras:
d² = 4² + 6²
d² = 16 + 36
d² = 52
d = 2√13.
Assim, o raio da circunferência é igual a r = √13 cm.
Perceba que a área sombreada é igual à área da circunferência menos a área do retângulo.
Logo,
A = π.(√13)² - 24
A = 13.3 - 24
A = 39 - 24
A = 15 cm².
Alternativa correta: letra c).
