Question

Na figura abaixo, tem-se um circunferência de centro C, cujo raio mede 8 cm.
O triângulo ABC é equilátero e os pontos A e B estão na circunferência. A área da região sombreada, em cm², é:

a) $\frac{16(2\pi - 3\sqrt{3})}{3}$
b) $64\pi$
c) $32(\pi - 1)$
d) $96\sqrt{3}$
e) $16(4\pi - \sqrt{3})$

Answer 1

Olá!

Se as retas CA e CB são raios, temos que valem 8. Como o triângulo é equilátero, AB também vale 8 e o ângulo ACB é de 60°.

Precisamos calcular a área do setor e depois diminuir da área do triângulo.

Asetor=Acirculo.1/6

Porque 1/6? Pois esse seria uma fatia da pizza, que tem 6 pedaços iguais (60° x 6 = 360°)Logo:

Asetor=πr².1/6

Asetor=π8².1/6

Asetor=64π/6

Asetor=32π/3

Agora vamos calcular a área do triângulo:

Precisamos descobrir a altura. Ao traçarmos uma reta cortando AB ao meio, teremos uma mediana relativa ao lado AB, formando um triângulo retângulo, de lados 4, x e hipotenusa 8.

64=16+x²

x=√48

x=√6.8

x=√3.2.2.2.2

x=4√3

Logo, a área é:

4√3.4

16√3

Agora, subtraimos as áreas:

32π/3-16√3

32π-48√3/3

Colocando 16 em evidência:

16(2π-3√3)/3

Item A.