Question

Na figura abaixo tem-se três semi-circunferências. A menor circunferência é tangente à duas das semi-circunferências e à reta PQ perpendicular ao diâmetro AB . A área da região hachurada (Cinza escuro) é igual a 39pi cm² e a área do menor círculo é 9pi cm² . Determine o comprimento do diâmetro AB .

Answer 1

AB = a+a+b+b = 2*(a+b) ................ raio da maior semicircunferência = a+b

π(a+b)²/2 -πa²/2-πb²/2 -9π = 39π

abπ = 48π ==> ab=48 ==> a=48/b (i)

tp=3+b e gp=b-3 **** .tp e gp são segmentos , veja a imagem

ot=a+b-3 e og = a-b+3

triângulo otg é retângulo:

(ot)²=(og)²+(tg)²

(a+b-3)² = (a-b+3)² + (tg)² ==> (tg)² = (a+b-3)² - (a-b+3)²

triângulo tgp é retângulo:

(tp)² =(tg)² +(gp)²

(3+b)²=(tg)²+(b-3)² ..como (tg)²= (a+b-3)² - (a-b+3)²

(3+b)²=(a+b-3)² - (a-b+3)²+ (b-3)²

9+6b+b²=a²+b²+9 +2ab-6a-6b -(a²+b²+9 -2ab+6a-6b) + b²-6b+9

9+6b+b²=a²+b²+9 +2ab-6a-6b -a²-b²-9 +2ab-6a+6b + b²-6b+9

9+6b+b²=4ab-12a+b²-6b+9

12b=4ab-12a

Sabemos que ab=48 e a = 48/b , então:

12b=4*48-12*48/b

12b²=4*48b -12*48

b²=16b-48

b²-16b+48=0

b'=[16+√(256-192)]/2 = 12

b''=[16-√(256-192)]/2 = 4

Se b=4 ==> a = 48/b =48/4=12

Se b=12 ==> a = 48/b =48/12=4 --Pela figura , sabemos que a > b

a=12 e b=4

AB= 2*(a+b) = 2*(12+4) = 32 cm

Letra D