Question

Na figura abaixo tem-se três semi-circunferências. A menor circunferência é tangente à duas das semi-circunferências e à reta PQ  perpendicular ao diâmetro AB . A área da região hachurada (Cinza escuro) é igual a 39pi cm² e a área do menor círculo é 9pi cm² . Determine o comprimento do diâmetro AB .

Answer 1

Bom, realmente é complicado de resolver, mas eu vi pintado de vermelho a alternativa D, então suponho que ela é o gabarito da questão.

Área dos circulos menores é π.r², logo:

9=r²

√9=r

3=r

Logo o raio do circulo menor é 3

Por esse método, é muito importante saber o raio dos círculos menores, pois:

sendo R o raio do circulo menor, fica: de QBC=b+3 e QBP=b-3. Assim pegando que QB é somente uma fração da parte total AB, fica que AQP=a+b-3 e ABP=a-b+3, precisa saber o angulo do triangulo formado, e incrivelmente é retangulo, ou seja, pode-se usar o teorema de pitágoras sendo um numero qualquer completando a formula, sabendo que o terceiro termo será a diferença entre os 2 termos, ou seja, a-b. O problema da equação é que ela possui duas incógnitas, logo precisa-se de uma outra equação para completar a mesma, assim essa outra será a área hachurada, a parte cinza escura, que sera igualado a 39π, e como não pode contar as outras circunferências, essa mesma será a diferença entre as outras circunferências, assim ficando:

π(a+b)²/2-a²π/2-πb²/2-9π+2a=39π

π.(a²+b²)/2-a²π/2-πb²/2-9π+2a=39π

3,14a²+3,14b²/2 - 3,14a²/2 - 3,14b²/2 -28,26+2a= 122,46

3,14a²+3,14b² - 3,14a² - 3,14b²- 56,52+2a = 244,92

-56,52+2a=244,92

2a=301,44

a=150,72

(a-b+3)²- (a+b-3)²=0

(150,72-b+3)² - (150,72+b-3)²=0

(153,72-b)²- (147,72+b)²=0

(3843/25-b)² - (3693/25+b)²=0

(3843/25)²-7686/25b+b²-(3693²/25²+7386/25b+b²)=0

(3843/25)²-7686/25b +b² - 3693²/25² - 7386/25b - b²=0

(3843/25)²-15072/25b - 3693²/625=0

625.(3843/25)²-376800b-3693²=0

5^4.3843²/5^4 - 376800b-3693²=0

3843²-376800b-3693²=0

(3843-3693).(3843+3693)-376800b=0

150.7536-376800b=0

1130400-376800b=0

-376800b=-1130400

376800b=1130400

b=1130400/376800

b=3

Agora precisa medir a distância de a para b, assim (a+b+3)/5 é o resultado da conta, o divisor 5 é pelo ponto no qual AB se encontra na equação, ficando a+b+3 é o total enquanto (a+b+3)/5 é ponto AB. Concluindo:

(a+b+3)/5 = 150,72+3+3/5 = 156,72/5 = 31,344.

Concluindo que o diâmetro AB é aproximadamente 32. ALTERNATIVA D.