Question

Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero. Observe atentamente e prove que o triângulo MNP também é equilátero.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fábio, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Note: se o triângulo ABC é equilátero então todos os seus três lados são iguais e, por consequência, todos os seus três ângulos também são iguais. E, como os ângulos internos de um triângulo somam 180º, então cada ângulo do triângulo equilátero ABC medirá 60º.
Portanto, deveremos provar que os ângulos "x", "y" e "z", do triângulo MNP, também medirão, cada um, 60º.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos considerar cada triângulo. Verificando no triângulo MPB, vemos que o ângulo B mede 60º (pois é um ângulo comum do triângulo ABC e que já vimos que cada ângulo do triângulo ABC mede 60º) e o ângulo P mede 90º. Então o outro ângulo desse triângulo, que chamaremos de ângulo "k" medirá (lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º):

60º + 90º + k = 180º
150º + k = 180º
k = 180º-150º
k = 30º <--- Esta é a medida do ângulo "k".

ii) Agora vamos considerar o triângulo AMN. Utilizando o mesmo raciocínio, temos que o ângulo A mede 60º e o ângulo M mede 90º. O ângulo que falta, que vamos chamar de "r" medirá (lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º):

60º + 90º + r = 180º
150º + r = 180º
r = 180º-150º
r = 30º <--- Esta é a medida do ângulo "r".

iii) Finalmente, vamos considerar o triângulo PNC. Utilizando o mesmo raciocínio, vemos que o ângulo C = 60º e o ângulo N = 90º. Chamando o terceiro ângulo de "s", teremos:

60º + 90º + s = 180º
150º + s = 180º
s = 180º - 150º
s = 30º <--- Esta é a medida do ângulo "s".

iv) Agora já temos tudo pra provar que os ângulos "x", "y" e "z" medirão, cada um, 60º. Veja como isso é verdade.

iv.a) Note que somando os ângulos 90º, "x" e "k" (que é igual a 30º), iremos ter 180º. Então teremos isto:

90º + x + 30º = 180º
90º + 30º + x = 180º
120º + x = 180º
x = 180º-120º
x = 60º <--- Esta é a medida do ângulo "x".

iv.b) Note que somando os ângulos 90º, "y" e "r" (que é igual a 30º), iremos ter 180º. Então teremos isto:

90º + y + 30º = 180º
90º + 30º + y = 180º
120º + y = 180º
y = 190º - 120º
y = 60º <--- Esta é a medida do ângulo "y".

iv.c) Note que somando os ângulos 90º, "z" e "s" (que é igual a 30º), iremos ter 180º. Então teremos isto:

90º + z + 30º = 180º
90º + 30º + z = 180º
120º + z = 180º
z = 180º - 120º
z = 60º <--- Esta é a medida do ângulo "z".

v) Como acabamos de ver que todos os ângulos do triângulo MNP medem, cada um, 60º , então é porque o triângulo MNP também é equilátero, pois como visto antes, quando um triângulo é equilátero todos os seus três ângulos medem 60º cada um.

Pronto. Acabamos de provar que o triângulo MNP é equilátero também.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.