Question

Na figura abaixo o quadrado ABCD tem lado de medida 10 cm e os vértices E,F,G e H do quadrado EFGH são pontos médios dos lados do quadrado ABCD. Nessa figura identificamos quatro semicírculos de diâmetros AB, BC, CD e DA respectivamente. Esses objetos geométricos (quadrados e semicírculos) determinam a região destaca em preto, calcule sua área.

Answer 1

Perceba que a figura maior é formada por 4 figuras menores iguais a do quadrado DHEO.

Então, vamos calcular a área da região preta do quadrado DHOE.

Como E e H são pontos médios do quadrado ABCD, então ED = DH = 5.

Observe o triângulo retângulo ΔEHO.

A parte branca é igual a área do triângulo ΔEHO menos a área do setor de 45°.

Assim,

$A' = \frac{25}{2} - \frac{25\pi}{8}$ cm²

Já a parte preta do triângulo ΔEHO é igual a área do triângulo menos duas vezes a área que encontramos acima, ou seja,

$A'' = \frac{25}{2} - 2(\frac{25}{2}- \frac{25\pi}{8})$

$A'' = \frac{25}{2}-25+ \frac{25\pi}{4}$

$A'' = \frac{25\pi}{4}-\frac{25}{2}$ cm²

Perceba que existem 8 áreas A' e 4 áreas A''.

Portanto, a área destacada é igual a:

$A = 8(\frac{25}{2}- \frac{25\pi}{8})+4( \frac{25\pi}{4}- \frac{25}{2})$

A = 4.25 - 25π + 25π - 2.25

A = 50 cm²