Na figura abaixo, o ponto P representa uma número
complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos números
abaixo é z, sabendo-se que OP = V13?
a)-9 + 41.
b) 2 + 3i.
c)2 - 31.
d) V13
e) - 13
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:Boa tarde,
A representação de números complexos tem a modalidade algébrica e a trigonométrica.
A algébrica já conhece, em que todo o número complexo aparece na forma
a + b i , sendo a, b ∈ |R e i = √-1
Neste caso tem o número complexo - 3 / 2 + √(3 / 2) i
A outra forma de representação, a trigonométrica é :
z = | z | ( cos Ф + i * sen Ф )
( nota 1: " Ф " uso este símbolo pois não encontro o adequado símbolo grego, denominado " teta " , que deve ter em seu livro de matemática
nota 2 : |z| = módulo do número complexo z também aparece no seu livro com uma letra grega que se pronuncia " ró ")
( parte positiva do eixo dos YY )
y = Im (z)
↑
|
P ---- C √3 / 2
° |
| ° |
| ° |
| ° |
| ° |
| ° |
| ° |
---|------------------°----------------------------A---→
B | O x = Re (z)
- 3 / 2 | ( parte positiva eixo dos xx)
|
|
Calculando o módulo do número complexo z = - 3 / 2 + √3 / 2 i
| z | = √ ( (- 3 / 2) ² + ( √3 / 2) ² )
= √( 9 / 4 + 3 / 4 ) o parêntesis curvo indica que está tudo dentro da raíz
= √12 / 4
= √3 | - 3 / 2 + √3 / 2 i | = √3
---------------------------------------------------------
A primeira parte já está calculada.
Precisamos de calcular o ângulo Ф , que é o ângulo AOP
Triângulo OBP é retângulo em B.
Os ângulos AOP e BOP têm os mesmos valores para os seus seno e cosseno .
Cos (BOP ) = BO / OP
= (- 3 / 2 ) : √3 = (- 3 / 2 ) * ( 1 / √3) =
Porque para se dividirem frações, mantém-se a primeira, muda-se a operação de dividir para multiplicar, invertendo-se a segunda fração.
= - 3 / ( 2 √3 )
racionaliza-se o denominador multiplicando ambos os termos da fração por √3.
= ( - 3 √3 ) / ( 2 √3 √3)
no denominador , √3 √3 = √3 ² = 3
assim
( - 3 √3 ) / ( 2 √3 √3)
= ( - 3 √3 ) / ( 2 * 3 )
= ( - 3 √3 ) / 6
dividindo numerador e denominador por 3
Cos (BOP) = - √3 / 2 , o que faz sentido pois o sinal do cosseno é negativo no segundo quadrante
|
2º quadrante | 1º quadrante
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3º quadrante | 4º quadrante
|
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1º Quadrante - Sen e Cos positivos
2º Quadrante - Sen Positivo ; Cos Negativo
3º Quadrante - Sen e Cos negativos
4º Quadrante - Sen negativo ; Cos positivo
Cálculo do Sen (BOP) = BP / OP
= ( √3 / 2 ) / √3
= ( √3 / 2 ) / (√3 / 1) ; para completar a fração no denominador
= ( √3 / 2 ) * (1 / √3 )
= √3 / ( 2 √3 )
dividindo o numerador e o denominador por √3
= 1 / 2
Nota: a partir de agora quando for preciso falar de ângulos, a dimensão não vai ser graus , mas π radianos
Em termos de graus o ângulo π = 180 º
Assim 30 º = π / 6
45º = π / 4
60 º = π / 3
Tabela de valores trigonométricos muito usados
| π / 6 | π / 4 | π / 3
----------|-----------| ---------- |---------
seno | 1/2 | √ 2 / 2 | √3 / 2
| | |
-----------------------------------------------
cos | √3 / 2 | √ 2/ 2 | 1/2
| | |
-----------------------------------------------
tang | √3 / 3 | 1 | √3
( tang x = sen x / cos x)
Cos (BOP) = - √3 / 2 , Sen (BOP) = 1 / 2
Ângulo BOP = π / 6
Mas para elaborar a forma trigonométrica do número complexo, o ângulo a registar na fórmula trigonométrica é o ângulo AOP.
Ângulos AOP e BOP são suplementares ( sua soma igual a 180 º ou seja π)
Ângulo AOP
= π - π / 6
= 6π / 6 - π /6
= 5 π / 6
Temos todos os elementos para indicar a forma trigonométrica pedida.
Resposta
A forma trigonométrica de :
- 3 / 2 + √(3 / 2 i) é √3 ( cos 5π / 6 + i sen 5π/6 )
que também tem uma escrita reduzida de √3 cis ( 5π/6 )
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Nota : sinal ( * ) é multiplicação ; sinal ( / ) é divisão
Espero ter ajudado. Ensinando devidamente o que sei.Procuro explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.
Esforçando-me por entregar a Melhor Resposta possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário ou mensagem. Bom estudo