Question

Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l. Os pontos M e ܰN são pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente.
Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.

Answer 1

A(tri) = La * Lb * sen(θ) / 2

A(tri) → Área do triângulo;
La e Lb → Lados do triângulo;
θ → Ângulo entre La e Lb;

A(trap) = (B + b) * H / 2

A(trap) → Área do trapézio;
B → Base maior;
b → Base menor;
H →Altura;

Eu estou sem o software que eu uso para desenhos geométricos, o Adobe Illustrator... e também não consigo usar o GeoGebra... vou tentar explicar com o máximo de detalhes sem os desenhos, então peço que use a imaginação um pouquinho e tente ir desenhando o que eu vou descrevendo...

Enfim, sinceramente, eu não consigo ver muito bem um tronco de pirâmide em MRNEFG... parece um pouco sim, mas acredito que esteja meio inclinado... isso não importa, pois a área de sua superfície é a soma das áreas dos polígonos:

A(MBNEFG) = A(MBN) + A(MBEF) + A(BNFG) + A(EFG) + A(EGMN)

A(MBN) ⇒

O triãngulo MBN está contido no plano de ABCD e é retângulo e isósceles.

MB e BN = Metades do lado L do cubo;
θ = 90° (ângulo entre MB e BN);

A(MBN) = MB * BN * sen(90°) / 2

A(MBN) = L / 2 * L / 2 * 1 / 2

A(MBN) = L² / 8
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A(EFG) ⇒

O triângulo EFG é retângulo e isósceles e está contido no plano da face EFGH.

EF e FG = Lados do cubo;
θ = 90° (ângulo entre EF e FG);

A(EFG) = EF * FG * sen(90°) / 2

A(EFG) = L * L * 1 / 2

A(EFG) = L² / 2
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A(EFMB) e A(FGBN) ⇒

Perceba que ambos são trapézios iguais, contidos, respectivamente, nos planos de ABEF e BEFG.

As suas medidas são :

Base maior →Lado do cubo;
Base menor → Metade do lado do cubo;
Altura → Lado do cubo...

A área desses trapézios é :

A(trap) = (L + L / 2) * L / 2

A(trap) = ((2 * L + L) / 2) * L / 2

A(trap) = (3 * L / 2) * L / 2

A(trap) = 3 * L² / 4

Logo, A(EFMB) = A(FGBN) = A(trap) = 3 * L² / 4
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A(MNEG) ⇒

Trapézio isósceles. Esse pode ser o mais chato de enxergar, pois não está contido em nenhum plano do cubo. Além disso, pode ser o mais difícil de se calcular a área, então eu peço que especialmente para esse você faça o desenho...


Base maior (EG) : É a diagonal do quadrado, logo :

B = L * √2

Base menor (MN) : Pode ser calculada por Pitágoras :

MN² = MB² + BN²

MN² = (L / 2)² + (L / 2)² → Fazendo o cálculo, chegamos em :

MN = L * √2 / 2 → Esta é a base menor (b)...

Lados oblíquos (EM e GN) ⇒

São iguais e podem ser calculados por Pitágoras... Por exemplo :

EM² = AE² + AM²

EM² = L² + (L / 2)² →Fazendo este cálculo, chegamos em :

EM = L * √5 / 2

Ao desenhar o trapézio, veja que a que a base menor MN "cabe" na base maior EG. Faça esse projeção.

Veja que "sobra" ainda 2 parcelas iguais em EG. Como EG = L * √2 e MN = L * √2 / 2 :

EG - MN =

L * √2 -  L * √2 / 2 =

L * √2 / 2 → É o que "sobra" no todo, então cada parte (que chamarei de "x" e "y") tem :

x = y = L * √2 / 4

No trapézio, perceba o Pitágoras entre, por exemplo, EM, H(trap) (a altura do trapézio) e x (também pode ser entre GN, H(trap) e y).

Fazendo esse Pitágoras :

EM² = H(trap)² + x²

Como já visto, EM = L * √5 / 2  e  x = L * √2 / 4
 
(L * √5 / 2)² = H(trap)² + ( L * √2 / 4)² → Com o cálculo, você chegará em :

H(trap) = L * √(9/8) → Vou racionalizar parcialmente :

H(trap) = L * 3 / (2 * √2) (A raiz embaixo já vai "cortar")...

Logo, fazendo o cálculo da área de EGMN, sendo:

EG = L * √2;
MN = L * √2 / 2;
H(trap) = L * 3 / (2 * √2)...

A(EGMN) = (L * √2 + L * √2 / 2) * (L * 3 / (2 * √2)) / 2

A(EGMN) =  (3 * L * √2  / 2) * (L * 3 / (4 * √2)) → Cortando as raízes :

A(EGMN) = 3 * L  / 2 * L * 3 / 4

A(EGMN) = 9 / 8 * L²
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A(MBNEFG) = A(MBN) + A(MBEF) + A(BNFG) + A(EFG) + A(EGMN)

Sendo ⇒

A(MBN) = L² / 8 ;
A(MBEF) = 3 * L² / 4;
A(BNFG) = 3 * L² / 4;
A(EFG) = L² / 2;
A(EGMN) = 9 / 8 * L²

A(MBNEFG) = L² / 8 + 3 * L² / 4 + 3 * L² / 4 + L² / 2 + 9 / 8 * L²

A(MBNEFG) = L² * (1/8 + 3/4 + 3/4 + 1/2 + 9/8) → Normalizando o denominador (por 8) :

A(MBNEFG) = L² * (1/8 + 6/8 + 6/8 + 4/8 + 9/8)

A(MBNEFG) = L² * (26 / 8)

A(MBNEFG) = L² * 13 / 4

A(MBNEFG) = 13 / 4 * L² ⇒ Área da superfície desse tronco de pirâmide !