Question

Na figura abaixo, estão representadas a circunferência x^2+y^2=16 e uma reta r. Qual a equação da reta r?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathsf{r : y = - x + 4}}$

Explicação passo-a-passo:

Na Geometria Analítica, sabemos

$\displaystyle \boxed{\mathtt{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}}$

representa a equação de uma circunferência centrada em $\displaystyle \mathtt{(a, b)}$ e raio $\displaystyle \mathtt{r}$.

Caso o centro seja a origem, então a equação que representa a circunferência é

$\displaystyle \boxed{\mathtt{x^2 + y^2 = r^2}}$

Isto posto, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 + y^2 = 16} \\\\ \mathsf{x^2 + y^2 = 4^2}$

é uma circunferência centrada na origem e raio 4!

Ora, se o raio da circunferência em questão vale 4, então sabemos que os pontos $\displaystyle \mathtt{(4, 0), (0, 4), (- 4, 0), (0, - 4)}$ pertencem à circunferência.

Ademais, não é difícil perceber que a reta $\displaystyle \mathtt{r}$ passa pelos pontos $\displaystyle \mathtt{(4, 0) \ e \ (0, 4)}$. Daí, basta encontramos a reta que contém esses pontos.

Existem diferentes maneiras para determinar essa equação... Farei por Determinantes...

$\\ \displaystyle \begin{vmatrix} \mathsf{x} & \mathsf{y} & \mathsf{1} \\ \mathsf{x_1} & \mathsf{y_1} & \mathsf{1} \\ \mathsf{x_2} & \mathsf{y_2} & \mathsf{1} \end{vmatrix}\mathsf{ = 0} \\\\\\ \begin{vmatrix} \mathsf{x} & \mathsf{y} & \mathsf{1} \\ \mathsf{4} & \mathsf{0} & \mathsf{1} \\ \mathsf{0} & \mathsf{4} & \mathsf{1} \end{vmatrix}\mathsf{ = 0} \\\\\\ \begin{vmatrix} \mathsf{x} & \mathsf{y} & \mathsf{1} & |& \mathsf{x} & \mathsf{y}\\ \mathsf{4} & \mathsf{0} & \mathsf{1} & | & \mathsf{4} & \mathsf{0} \\ \mathsf{0} & \mathsf{4} & \mathsf{1} & | & \mathsf{0} & \mathsf{4}\end{vmatrix}\mathsf{ = 0}$

$\\ \displaystyle \mathsf{0 + 0 + 16 - 0 - 4x - 4y = 0} \\\\ \mathsf{16 - 4x = 4y \qquad \quad \qquad \div (4} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{y = - x + 4}}}$