Question

Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x).

Determine a expressão algébrica que define a função inversa de f(x)

Answer 1

Vamos lá, minha amiga!

O que nós podemos notar no gráfico?
->A reta toca o eixo x no ponto -2
->A reta toca o eixo y no ponto 1

O ponto em que a reta toca o eixo x é a raiz/solução/zero da função, ou seja, quando f(x)=0.

Para resolver essa questão é preciso lembrar-se do formato de uma equação do 1º grau: f(x) = a.x + b sendo a o coeficiente angular e b o coeficiente linear. O coeficiente linear (b) é sempre o número em que a reta toca o eixo y (eixo das ordenadas).

Qual é mesmo o ponto em que a reta toca o eixo y no gráfico? Isso... O ponto 1. Ou seja, o nosso b é igual a 1.
então temos f(x) = ax+b
Sabemos que quando o f(x)=0 ele toca o eixo x, neste caso no ponto -2, ou seja, quando x=-2
f(x)=0
ax+b=0
a.(-2) + 1 = 0
-2a = -1
a = 1/2

Juntando tudo o que conseguimos, concluímos que:
$f(x) = \frac{1}{2}.x + 1$

Mas o problema não quer só isso, ele quer a função inversa. Para calcular a função inversa temos que colocar o x no lugar do y e o y no lugar do x e, logo em seguida, isolar o y. (Lembrando que f(x) é a mesma coisa que y)

$f(x) = \frac{1}{2}.x + 1$
$y = \frac{1}{2}.x + 1$
$x = \frac{1}{2}.y + 1$
$(x - 1) = \frac{1}{2}.y$
$(x - 1) = \frac{y}{2}$
$(x - 1).2 = y$
$y = 2x - 2$
$f^{-1}(x)= 2x - 2$ >>> Tadammm! Aí está nossa função inversa!

Answer 2

Para x = -2 ⇒ y = 0 (1)
Para x = 0 ⇒ y = 1 (2)

y = ax + b

(1) 0 = a.-2 + b
(2) 1 = a.0 + b

De (2) temos que b = 1

Substituindo b = 1 na equação (1) temos:

0 = a.-2 + 1
a.2 = 1
a = 1/2

y = 1/2x + 1  (equação que originou o gráfico)

Função inversa:

x = 1/2y + 1
1/2y = x - 1
y = 2.(x - 1)
y = 2x - 2 (função inversa de y = 1/2x + 1)

Espero ter ajudado.