Question

Na figura abaixo - em anexo, $\mathbf{r}$ é o raio do círculo maior e $\mathbf{t}$ é o comprimento da tangente $\overline{\mathbf{AB}}$ comum aos dois círculos menores. Então, a área assinalada, compreendida entre o círculo maior e os dois menores, é igual a:


$\mathtt{a) \, \frac{\pi r^2}{8}}$


$\mathtt{b) \, \frac{\pi r t}{8}}$


$\mathtt{c) \, \frac{\pi t^2}{8}}$


$\mathtt{d) \, \frac{\pi(t - r)^2}{8}}$


$\mathtt{e) \, NRA}$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{c)\ \frac{\pi t^2}{8}}$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que o seguimento AB divide o diâmetro do círculo maior em dois segmentos que são os diâmetros dos menores.

Considerando $r$ o raio do círculo maior, $r_e$ o raio do círculo a esquerda e $r_d$ o raio do círculo a direita temos:

$2r = 2r_e+2r_d\\\boxed{r=r_e+r_d}$

A área hachurada é calculada usando a área do círculo maior, tirando as duas áreas menores

$A = \pi r^2-\pi r_e^2-\pi r_d^2\\\\A=\pi(r^2-r_d^2-r_e^2)$

Resta agora apenas calcular qual é a influência do valor de t (comprimento do segmento tangente AB) sob os valores de $r_e$ e $r_d$

Vamos observar o círculo maior analiticamente. Considerando um círculo de raio r no centro de um plano cartesiano, AB paralelo ao eixo y e os diâmetros todos contidos no eixo x.

Observamos rapidamente que o valor de t é igual a duas vezes o raio vezes valor do seno do ângulo que parte do eixo x até o ponto A ou B, vamos chamá-lo de theta. Observamos também que o cosseno desse ângulo é a parte do diâmetro de $r_e$ que invade o lado positivo do eixo x, assim temos as seguintes relações:

$t =2*r*sin(\theta)\\\\t=2r*\pm\sqrt{1-cos^2(\theta)}\\\\1-cos^2(\theta)=\frac{t^2}{4r^2}\\\\cos(\theta)=\pm\sqrt{1-\frac{t^2}{4r^2}}$

*cos(theta) é positivo se a reta permanecer do lado direito da imagem

Agora relacionando os diâmetros e raios, temos:

$2r_d=r+r*cos(\theta)\\2r_e=r-r*cos(\theta)\\\\r_d=\frac{r}{2}(1+cos(\theta))\\r_e=\frac{r}{2}(1-cos(\theta))\\\\r_d^2+r_e^2= \frac{r^2}{4}(1+2cos(\theta)+cos^2(\theta))+\frac{r^2}{4}(1-2cos(\theta)+cos^2(\theta))\\\\r_d^2+r_e^2=\frac{r^2}{2}(1+cos^2(\theta))\\\\r_d^2+r_e^2=\frac{r^2}{2}(1+1-\frac{t^2}{4r^2})\\\\r_d^2+r_e^2=r^2(1-\frac{t^2}{8r^2})\\\\r_d^2+r_e^2=r^2-\frac{t^2}{8}$

Agora aplicando esta última equação na das áreas, temos:

$A=\pi(r^2-r_d^2-r_e^2)\\\\A=\pi(r^2-(r_d^2+r_e^2))\\\\A=\pi(r^2-(r^2-\frac{t^2}{8}))\\\\\boxed{A=\frac{\pi t^2}{8}}$

Alternativa correta: C

Answer 2

Resposta:

A = πt²/8

Explicação passo-a-passo:

Dan eu estava observando suas brilhantes perguntas e encontrei uma solução bem simples para uma dessas. Estou lhe remetendo essa minha solução que talvez vc goste.

Traça o diâmetro interceptando a corda AB no seu ponto médio*. Liga o Ponto A às extremidades desse diâmetro e assim terás um triângulo retângulo, pois o ângulo A do triângulo é reto porque está subentendido por um arco de 180 e esse ângulo A recebe o nome de ângulo inscrito, formado por duas cordas. Todo ângulo inscrito é igual a metade do arco subentendido.

* intercepta no ponto médio porque existe um teorema que diz que quando o raio é perpendicular a corda divide esta ao meio. Sendo assim se a tangente às duas circunferências é t, então a altura do triângulo retângulo mencionado, relativa a hipotenusa mede t/2.

O diâmetro da circunferência média mede n e da circunferência menor mede m e da maior mede m+n.

O raio da circunferência média mede n/2,  da circunferência menor mede m/2 e da maior mede (m+n)/2. Sendo assim, do triângulo retângulo formando, podemos escrever (t/2)² = m.n. Logo t² =4mn. Sendo assim 2mn = t²/2.

A área procurada é A = [(m+n)/2]²π – [(n²/4) π + (m²/4)π]

A = [m²π +n²π + 2mnπ – n²π – m²π]/4

A = 2mnπ/4, substituindo 2mn = t²/2, temos:

A = (t²/2)π/4

A = πt²/8