Question

Na figura abaixo, as circunferências de centros A e B têm raios 9 cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25 cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, em cm, a medida do segmento CD.

ME AJUDEM PFV!

Answer 1

Resposta:

20 cm

Explicação passo-a-passo:

Bela pergunta, hein? Bom, vamos começar, primeiro tente enxergar que nessa figura, existe dois triângulos retângulos, o ACE e o EDB.

Agora perceba que esses dois triângulos retângulos estão opostos por um vértice (vértice E). Com isso, a gente consegue garantir que os dois são semelhantes (pois possuem ângulos opostos por um vértice e um ângulo de 90°).

Sabendo que eles são semelhantes, nós podemos descobrir a razão de semelhança K entre eles.

Perceba agora que um dos catetos do triângulo maior é igual a 9cm (pois coincide com o raio da circunferência) e um dos catetos do triângulo menor é 6cm (pois coincide com o raio da circunferência).

Sabendo disso, podemos calcular a razão de semelhança, que será 9 / 6 ou 3/2

Agora, perceba que o segmento AB é igual a soma das hipotenusas desses dois triângulos e que isso é igual a 25cm. Suponha então que hipotenusa AE = 25 - x e que a hipotenusa EB = x

Nós podemos calcular o valor de x usando a razão de semelhança:

$\frac{25-x}{x} = \frac{3}{2}$

50 - 2x = 3x

50 = 5x

x = 10

Sabendo que x = 10, descobrimos que AE = 25 - 10 = 15cm e que EB = 10cm

Agora veja que o segmento CD é a soma de dois catetos desses triângulos, e podemos descobrir quanto que vale cada um desses catetos com pitágoras:

Triângulo ACE

15² = 9² + CE²

CE = 12cm

Triângulo EDB

10² = 6² + ED²

ED = 8cm

Por fim, somamos CE + ED e descobrimos que CD = 20cm

Answer 2

Resposta:

CD = 20cm

Explicação passo-a-passo:

ΔACE ≈ ΔEDB

_AC_ = _AE_ =_CE_

BD         BE       DE

_9_ = _AE_

 6         BE

AE + EB = 25

a soma dos dois primeiros termos  está para o segundo  assim como a soma dos dois últimos está para o 4º

_9 + 6_ = _ 25_

     6           BE

15/6 = 25/BE

15BE = 150

BE = 150/15

BE = 10

AE = 25 - 10

AE = 15

ΔACE ⇒ retângulo

(CE)² = (AE)² - (AC)²

(CE)² = 15² - 9²

(CE)² = 225 - 81

CE = √144

CE = 12cm

ΔEDB ⇒ retângulo

(ED)² = (BE)² - (BD)²

(ED)² = 10² - 6²

(ED)² = 100 - 36

ED = √64

ED = 8cm

CD = CE + ED

CD = 12 + 8

CD = 20cm