Question

Na figura abaixo, AM, MB, BC e AD tem a mesma medida. Determine a área sombreada, sabendo que o perímetro do retângulo ABCD mede 6 m

Answer 1

Resposta:

$2 m^2$

Explicação passo-a-passo:

Chame x = AM. Temos que o perímetro é 2AB + 2AD = 6m. Logo,

$2AB+2AD = 2(2x) + 2x = 6x = 6m \implies x = 1m$.

Note agora que a região não sombreada corresponde a 2 quartos de um disco de raio x = 1m, isto é, metade de um disco. A área total da figura corresponde à área do disco sombreado (de raio também igual a x=1m) mais a área do retângulo de lados x e 2x. Logo,

$A_{total} = A_{disco\ sombreado} + A_{retangulo} = \frac{\pi x^{2}}{2} + x(2x) = \left(\frac{\pi}{2} +2\right) m^2$

$A_{nao\ sombreada} = \frac{\pi x^{2}}{2} = \frac{\pi}{2} m^2$

Segue que

$A_{sombreada} = A_{total}-A_{nao\ sombreada} = \left(\frac{\pi}{2} +2\right) m^2 -\frac{\pi}{2} m^2 = \left(\frac{\pi}{2} + 2 -\frac{\pi}{2} \right)m^2 = 2 m^2$