Question

Na figura abaixo, ABCD é um trapézio com bases AB e CD medindo 30 cm e 18 cm, respectivamente. Os pontos E e F estão nos lados AD e BC de ABCD, respectivamente, sendo que EF é paralelo a AB e DE=5⋅AE. Os pontos G e H estão no lado AB de ABCD, sendo que os segmentos de reta DG e CH são perpendiculares a AB. Os pontos I e J são os pontos de interseção de DG e CH com EF, respectivamente. Mostre que EI=56⋅AG. Mostre que CF=5⋅BF. Calcule a medida do segmento de reta EF

Answer 1

A figura está em anexo.

1) Note que o triângulo EID é semelhante ao triângulo AGD pois seus ângulos internos são iguais. Desta forma, o lado EI é proporcional ao lado AG da mesma forma que o lado DE é proporcional ao lado DA. Pelo enunciado, DE = 5.AE, então DA = 6.AE podemos escrever:

EI/AG = DE/DA

EI/AG = 5.AE/6.AE

EI/AG = 5/6

EI = (5/6).AG

 

2) Pelo teorema de Tales, a regra de proporção é bem parecido com a semelhança de triângulos.  O lado CF é proporcional ao lado FB da mesma forma que o lado DE é proporcional ao lado AE. Assim, teremos:

CF/DE = BF/AE

CF/5.AE = BF/AE

Multiplicando ambos os lados por AE, temos:

CF/5 = BF

CF = 5.BF

3) EF pode ser escrito como a soma de EI + IJ + JF, sendo IJ = CD = 18 cm. O segmento AB, paralelo a EF, pode ser escrito como a soma de AG + GH + HB, sendo GH = 18 cm. Se GH = 18 e  AB = 30, então AG + HB = 12. Pelo item B, CF = 5.BF, então se aplicarmos o Teorema de Tales, veremos que JF = (5/6)HB. Sendo EI = (5/6)AG e JF = (5/6)HB, temos:

EF = (5/6)AG + 18 + (5/6)HB

EF = 18 + (5/6)(AG + HB)

EF = 18 + (5/6)*12

EF = 28 cm