Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e I e J são pontos médios de DC e AD,
respectivamente. Nessas condições, sen α é igual a:
Resposta: 3/5
Gostaria de entender a resolução.
Imagem da figura em anexo
Soluções para a tarefa
DJ = a/2 DI = a/2 IC = a/2 onde a seria a medida do lado do quadrado
BC = a JA = a/2 AB = a
Traçando o segmento JI, podemos notar que o triângulo resultante BJI é um triângulo isósceles, pois tem dois lados com a mesma medida BJ = BI, lados que são respectivamente as hipotenusas dos triângulos ABJ (BJ) e BIC (BI).
Usando o teorema de Pitágoras em BCI temos
BC² + IC² = BI²
a² + (a/2)² = BI²
a² + a²/4 = BI² (calculando o mmc)
4a²/4 + a²/4 = BI²
5a²/4 = BI²
BI = √5a²/4
BI = a√5/2 portanto BJ = a√5/2
Usando novamente o teorema de Pitágoras
DI² + DJ² = JI²
(a/2)² + (a/2)² = JI²
2(a/2)² = JI²
JI = √2(a/2)²
JI =a√2/2
Agora trace uma bissetriz dividindo o ângulo alfa pela metade e interceptando o lado JI no ponto médio desse lado que denotaremos como ponto H, isto é o lado JI ficará dividido pela metade.
Logo JH = HI = (a√2/2)/2 = a√2/4
Em seguida calculemos o seno do ângulo da metade de alfa, lembre-se que o triângulo BJI ficou dividido ao meio quando traçamos a bissetriz é o angulo alfa se repartiu pela metade
Dai, temos que
sen alfa/2 = JH/BJ
sen alfa/2 = a√2/4 dividido por a√5/2
sen alfa/2 = 2a√2/4a√5 (multiplique extremos e meios)
sen alfa/2 = √2/4√5 (fazendo a racionalização)
sen alfa/2 = √2√5/4√5√5
sen alfa/2 = √10/2.5
sen alfa/2 = √10/10
Usando a primeira relação fundamental da trigonométria
sen² alfa/2 + cos² alfa/2 = 1
cos² alfa/2 = 1 - sen² alfa/2
cos² alfa/2 = 1 - (√10/10)²
cos² alfa/2 = 1 - 10/100
cos² alfa/2 = 100/100 - 10/100
cos² alfa/2 = 90/100
cos alfa/2 = √(90/100)
cos alfa/2 = 3√10/10 (como o ângulo é menor que 90º o cos é positivo
Portanto:
sen alfa = sen 2.alfa/2 = 2sen alfa . cos alfa
sen alfa = 2 . √10/10 . 3√10/10
sen alfa = 6.10/100
sen alfa = 60/100
sen alfa = 6/10
sen alfa = 3/5
Espero ter ajudado!!!
O valor de sen(α) é 3/5.
Vamos considerar que a medida do lado do quadrado é igual a x. Como os pontos I e J são pontos médios, então os segmentos DI e DJ possuem medidas iguais a x/2.
Ao traçarmos o segmento JI obteremos um triângulo retângulo DJI.
Utilizando o Teorema de Pitágoras:
JI² = (x/2)² + (x/2)²
JI² = x²/4 + x²/4
JI² = 2x²/4
JI = x√2/2.
Observe que os segmentos JB e IB possuem a mesma medida, que é:
JB² = (x/2)² + x²
JB² = x²/4 + x²
JB² = 5x²/4
JB = x√5/2 = IB.
Utilizando a Lei dos Cossenos no triângulo JBI obtemos:
(x√2/2)² = (x√5/2)² + (x√5/2)² - 2.(x√5/2).(x√5/2).cos(α)
2x²/4 = 5x²/4 + 5x²/4 - (10x²/4).cos(α)
2/4 = 10/4 - (10/4).cos(α)
(10/4).cos(α) = 10/4 - 2/4
(10/4).cos(α) = 8/4
cos(α) = 4/5.
A relação fundamental da trigonometria nos diz que:
- sen²(α) + cos²(α) = 1.
Portanto, podemos concluir que o seno de α é:
sen²(α) + (4/5)² = 1
sen²(α) + 16/25 = 1
sen²(α) = 1 - 16/25
sen²(α) = 9/25
sen(α) = 3/5.
Exercício sobre seno: https://brainly.com.br/tarefa/7788059
