Question

Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos equiláteros de lados 20 cm e 10 cm. Calcule AD.​

Answer 1

Resposta:

$AD=10\sqrt{3}$ cm

Explicação passo a passo:

Vide anexo!!

Primeiro vamos descobrir quanto vale a altura de cada triângulo, vamos chamar a altura de ABC de $h_{1}$ e a altura da BDE de $h_{2}$.

Calculando $h_{1}$:

Através do teorema de Pitágoras (aliás será usado esse teorema na questão inteira) podemos calcular a altura do triângulo equilátero ABC. Triângulos equilátero tem todos os lados com a mesma medida, sabendo disso, ao traçar a altura do triângulo divido o segmento CB em duas partes iguais, como o lado mede 20 cm então sei que a base do triângulo retângulo formado entre a altura e AB mede 10 cm.

Pitágoras nos diz que:

$a^{2}= b^{2} +c^{2}$

Onde "a" é a hipotenusa de um triângulo retângulo e "b" e "c" seus catetos.

Aplicando ao nosso caso, a hipotenusa é igual ao lado do triângulo (20 cm), um dos catetos é a base descrita acima (10 cm) enquanto que a altura $h_{1}$ que queremos descobrir é o outro cateto, ficando assim:

$20^{2} =10^{2} +(h_{1} )^{2}$

$400 =100 +(h_{1} )^{2}$

$(h_{1} )^{2}=400-100$

$h_{1}=\sqrt{300}$

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Calculando $h_{2}$:

Do mesmo modo calculamos a altura do triângulo BDE, no entanto usamos as medidas do lado igual a 10 cm

$10^{2} =5^{2} +(h_{2} )^{2}$

$100 =25 +(h_{2} )^{2}$

$(h_{2} )^{2}=100-25$

$h_{2}=\sqrt{75}$

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Agora podemos calcular a distância AD.

Imaginemos uma reta horizontal passando por D, agora outra reta vertical passando por A, onde essas retas se encontram será o vértice de 90º do nosso triângulo retângulo e a sua hipotenusa (a) será justamente a distância AD.

Os catetos desse triângulo serão:

O cateto horizontal (b) é igual a soma de meio lado de ABC mais meio lado de BDE. sendo:

$b=\frac{20}{2} +\frac{10}{2}=10+5=15$

O cateto vertical (c) é igual a diferença das alturas dos triângulos equilátero:

$c=h_{1} -h_{2}$

$c=\sqrt{300} -\sqrt{75}$

Aplicando em Pitágoras:

$a^{2}= b^{2} +c^{2}$

$a^{2} =15^{2} +(\sqrt{300} -\sqrt{75} )^{2}$

Aplicando produto notável:

$a^{2} =225 +(300-2.\sqrt{300} .\sqrt{75} +75)$

Como o produto das raízes é igual a raiz de um produto:

$a^{2} =225 +300-2.\sqrt{300.75} +75$

$a^{2} =225 +300-2.\sqrt{22500} +75$

$a^{2} =600-2.\sqrt{22500}$

$a^{2} =600-2.(150)$

$a^{2} =600-300=300$

$a =\sqrt{300}$ cm

De novo,  o produto das raízes é igual a raiz de um produto, logo:

$\sqrt{300} =\sqrt{3} .\sqrt{100} =10\sqrt{3}$

Só pra ficar mais elegante!!

$AD=10\sqrt{3}$

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