Na figura abaixo, a semicircunferência com centro sobre o cateto de comprimento 20 cm, tangencia em M e B os lados do triângulo retângulo ABC. Sabendo que as coordenadas dos vértices do triângulo são os pontos (0,0), (0,21) e (20,0), determine o raio da semicircunferência.
Soluções para a tarefa
O raio da semicircunferência é 8,4 cm.
Explicação:
Pela figura, é possível notar que os triângulos ABC e OMC são semelhantes, pois os seus ângulos são congruentes.
Os ângulos dos vértices M e B são retos (90°) e o ângulo do vértice C é comum aos dois triângulos.
Então, os lados correspondentes são proporcionais:
OM = OC
AB AC
Para descobrir a medida de AC, podemos utiliza o teorema de Pitágoras.
AC² = AB² + BC²
AC² = 21² + 20²
AC² = 441 + 400
AC² = 841
AC = 29 cm
Logo:
OM = OC
AB AC
r = 20 - r
21 29
29r = 21·(20 - r)
29r = 420 - 21r
29r + 21r = 420
50r = 420
r = 420
50
r = 8,4 cm
Utilizando semelhança de triângulos, temos que, raio da circunferência é igual a 8,4 centímetros.
Os triângulos ABC e OMC são semelhantes
Quando dois triângulos são semelhantes, temos que, as medidas dos lados desses triângulos são proporcionais. Um dos casos de semelhança de triângulos é quando eles possuem os três ângulos com mesma medida.
Os triângulos ABC e OMC possuem os três ângulos com mesma medida, portanto, são semelhates. Comparando os lados opostos aos ângulos congruentes, temos que:
OM/OC = AB/AC
Como o triângulo ABC é retângulo, cuja hipotenusa é AC, temos que, pelo Teorema de Pitágoras:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 441 + 400
AC = 29 centímetros.
Substituindo esse valor na igualdade da semelhança dos triângulos, podemos escrever:
R/21 = (20-R)/29
29R = 21*(20-R)
50R = 420
R = 8,4 centímetros.
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