Question

Na figura abaixo a medida do lado DC = 24 cm e DA = 10 cm , Suponha que nos retângulos EFGH e IJKL a medida de HG=LI. Se a área da região colorida e a da região do retângulo ABCD exterior a área colorida são iguais, qual a medida de HG?

Answer 1

HG mede 4 centímetros.

Olhando para a figura podemos deduzir a área da região colorida como sendo:

Ac = LI*DH + HG*CK + KJ*HG + EF*JB + KJ*GC

Para tal, basta dividirmos essa região em cinco retângulos distintos.

Agora, novamente pela figura, vamos deduzir algumas igualdades:

• HG = EF = LI;
• LI = KJ = HG;

Vale ressaltar que já incluímos aqui a relação fornecida no enunciado HG = LI. Agora devemos reduzir a área colorida para apenas o termo HG, que é o que a questão pede:

Ac = LI*DH + HG*CK + KJ*HG + EF*JB + KJ*GC

Fazendo LI = HG:

Ac = HG*DH + HG*CK + HG*KJ + EF*JB + KJ*GC

Ac = HG*(DH + CK) + HG*KJ + EF*JB + KJ*GC

Fazendo KJ = HG:

Ac = HG*(DH + CK) + HG² + EF*JB + HG*GC

Ac = HG*(DH + CK + GC) + HG² + EF*JB

Fazendo EF = HG:

Ac = HG*(DH + CK + GC) + HG² + GH*JB

Ac = HG*(DH + CK + GC + JB) + HG²

Separando da maneira mais conveniente:

Ac = HG*(DH + GC) + HG*(CK + JB) + HG²

Pela figura sabemos que DH + HG + GC = DC = 24, que resulta em DH + GC = 24 - HG, ou seja:

Ac = HG*(24 - HG) + HG*(CK + JB) + HG²

E ainda temos CK + KJ + JB = DA = 10, que resulta em CK + JB = 10 - KJ, sabemos que KJ = HG, logo temos CK + JB = 10 - HG, ou seja:

Ac = HG*(24 - HG) + HG*(10 - HG) + HG²

Ac = 24HG - HG² + 10HG - HG² + HG²

Ac = 34HG - HG²

Pelo enunciado sabemos que a área colorida é igual à área não colorida, logo:

An (área não colorida) = Ac

E sabemos que a soma das duas áreas equivale à área total:

At = An + Ac = Ac + Ac = 2Ac

E ainda, a área total é:

At = DA*DC = 10*24 = 240 cm²

Logo:

2Ac = 240

Ac = 240/2 = 120

34HG - HG² = 120

HG² - 34HG + 120 = 0

Aplicando Bháskara:

Δ = 34² - 4*1*120 = 1156 - 480 = 676

HG = (34±26)/2

HG' = (34 - 26)/2 = 4 cm

HG'' = (34 + 26)/2 = 30 cm

Como HG deve ser menor que DC, então ele mede 4cm.

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Answer 2

É correto afirmar que a medida de HG será igual a 4cm.

O excerto da atividade já nos forneceu a informação de que HG = LI

De acordo com a região que possui cor dentro da bandeira finlandesa, temos algumas informações, como:

O segmento AC = LI x DH + HG x CK + KJ.HG + EF x B + KJ x GC

Para se chegar a conclusão destas informações, devemos repartir a bandeira em diferentes secções.

De acordo com a figura, temos que HG = EF = LI  e que LI = KJ = HG. Lembrando que o enunciado já mencionou que HG = LI.

Logo, para encontrar HG:

Ac = HG x DH + HG x CK + HG x KJ + EF x JB + KJ x GC  

Ac = HG x (DH + CK) + HG x KJ + EF x JB + KJ x GC

Agora, KJ = HG:

Ac = HG x (DH + CK) + HG² + EF x JB + HG x GC  

Ac = HG x (DH + CK + GC) + HG² + EF x JB

Fazendo EF = HG:

Ac = HG x (DH + CK + GC) + HG² + GH x JB  

Ac = HG x (DH + CK + GC + JB) + HG²

Portanto, temos CK + KJ + JB = DA = 10, que resulta em CK + JB = 10 - KJ.

Logo, sabe-se que KJ = HG, logo temos CK + JB = 10 - HG, isto é

Ac = HG x (24 - HG) + HG x (10 - HG) + HG²  

Ac = 24HG - HG² + 10HG - HG² + HG²  

Ac = 34HG - HG²

A área da bandeira que não possui cores é o segmento AC, e a área que possui cores é 2xAC.

A área total corresponde a: At = DA*DC = 10 x 24 = 240 cm

Então: 2Ac = 240  = Ac = 240/2 = 120  

HG² - 34HG + 120 = 0

Por fim, utilizaremos a fórmulas de bháskara: Δ = 676

HG = (34±26)/2

HG' = (34 - 26)/2 = 4 cm  

HG'' = (34 + 26)/2 = 30 cm

A menor medida será HG, no caso, 4 (centímetros).

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